Función completa con $f(z)=\sin(f(z))$ debe ser constante?

Question

Estoy tratando de mostrar por qué una función completa con la propiedad $f(z)= \sin(f(z))$ en todas partes debe ser constante.

¿Es suficiente decir que al tomar las derivadas, obtendremos $f'(z)=f'(z) \cdot \cos(f(z))$ Así que, o bien $f'$ es cero, por lo que $f$ constante, o $\cos(f)=1$ Así que $f(z)=2 \pi k$ para todos $z$ , lo que significa que por continuidad, $f$ no puede ser $2 \pi k_1$ en $z_1$ y $2 \pi k_2$ en $z_2$ para diferentes $k$ (ya que en la imagen, a lo largo de cualquier camino desde $2\pi k_1$ a $2\pi k_2$ , $f$ no sería $1$ ya), por lo que $f=2\pi k_0$ para algunos $k_0$ Así que de nuevo, $f$ constante.

¿Tenemos derecho a utilizar la regla de la cadena normal aquí, ya que primero intenté utilizar las ecuaciones de Cauchy-Riemann, y no tuve éxito con eso. ¿O es que esto requiere algunas propiedades del seno, o es mi solución incluso correcta?

Answer 1

De hecho, sólo necesitamos que $f$ es continua con dominio conectado, mientras que $\sin$ podría ser sustituida por cualquier función analítica. Como $\sin$ es analítico, el conjunto de pontos $w$ Satisfaciendo a $w=\sin w$ es discreto; por tanto, la imagen de $f$ es discreto. Pero $f$ es continua, y $\mathbb{C}$ es conectado, y una función continua de un espacio conectado a un espacio discreto es constante.