¿Qué función maximiza el área para una longitud de arco constante?

Question

Supongamos que tengo una función continua $f$, que $f(0) = f(1) = 0$. ¿Dado el $l$ de la longitud de la curva entre $0$y $1$, función que maximiza el área bajo la curva? Sé que si $l \leq \pi/2$ la curva es un arco circular: pero si es mayor, entonces él no puede aún ser así porque la curva no sería una función. ¿Cuál sería la función $l = 2$, por ejemplo?

Answer 1

[Significativa el crédito va para @san para su observación sobre cómo probar esto, ver los comentarios en la pregunta].

Para una curva de longitud $2l + \pi/2$, $l > 0$, no hay máximo existe: el área es siempre estrictamente menor que $l + \pi/8$, pero puede ser arbitrariamente cercana a la que se une.

Preliminar lema: si $g: [a, b] \to \mathbb R$, $g$ continua, $0 \leq a < b \leq 1$, y la longitud de la curva definida por $g$$l < \pi/2$, entonces el área bajo$g$$A < \pi/8$.

Prueba: reflejar en el $x$-eje; entonces tenemos una curva cerrada de la longitud de la $< \pi$, de modo que por la desigualdad isoperimétrico $2A \leq (2L)^2/4\pi < \pi/4$, es decir,$A < \pi/8$.

Ahora vamos a $f: [0, 1] \to \mathbb R$, $f$ continua, y supongamos que la longitud de la curva definida por $f$$2l + \pi/2$.

Deje $x_0 = \min\{ x \in [0,1]: f(x) = l\}$$x_1 = \max\{ x \in [0, 1]: f(x) = l \}$.

A continuación, la distancia a lo largo de la curva entre el $x = 0$ $x = x_0$ es estrictamente mayor que $l$, similiarly la distancia a lo largo de la curva entre el $x = x_1$ $x = 1$ es estrictamente mayor que $l$. Por lo tanto la distancia a lo largo de la curva entre el $x = x_0$ $x = x_1$ es de menos de $\pi/2$, y por tanto, por el lema, el área entre la sección de la curva y la línea de $y = l$$< \pi/8$. La combinación de este con el área entre la línea de $y = l$ y la línea de $y = 0$, se obtiene un área de tamaño de $< l + \pi/8$ que contiene el área bajo la curva definida por $f$, y por lo tanto el área bajo la curva definida por $f$$< l + \pi/8$.

Ahora para la segunda parte de la afirmación, es decir, que podemos obtener arbitrariamente cerca de:

Deje $\min\{1/2, l\} > \epsilon > 0$. Definir $f: [0, 1] \to \mathbb R$ como sigue:

$f(t) = (l-\epsilon)t/\epsilon \text{ if } 0 \leq t \leq \epsilon$

$f(t) = (l-\epsilon) + \sqrt{(\frac12 - \epsilon)^2 - (x-\frac12)^2} \text{ if } \epsilon \leq t \leq 1-\epsilon$

$f(t) = (l-\epsilon)(1-t)/\epsilon \text{ if } 1-\epsilon \leq t \leq 1$

Es decir, podemos dibujar una línea recta desde $(0,0)$$(\epsilon, l-\epsilon)$, luego de un semicírculo de radio $\frac{1}{2} - \epsilon$$(\frac{1}{2}, l-\epsilon)$, luego una línea recta de $(1-\epsilon, l-\epsilon)$$(1, 0)$.

Las longitudes de estas tres partes están a menos de $l$, $\pi/2$, y $l$ respectivamente, por lo que la longitud de esta curva es $< 2l + \pi/2$. Mientras tanto, el área bajo es

$$\frac{\epsilon(l - \epsilon)}{2} + (1-2\epsilon)(l-\epsilon) + \frac{\pi(1/2-\epsilon)^2}{2} + \frac{\epsilon(l - \epsilon)}{2}$$

Como $\epsilon \to 0$, esta área $\to l + \pi/8$, por lo que hemos continuas curvas de longitud de menos de $2l + \pi/2$ que ser arbitrariamente cerca que encierra un área de $l+ \pi/8$ (y es evidente que se puede extender estas curvas de duración $2l + \pi/2$ sin disminuir el área debajo de ellos).