Ampliando un orden parcial a anticadenas

Question

Sea $(S, \leq)$ un orden parcial. Sea $T$ el conjunto de anticadenas de $S$ (es decir, subconjuntos de $S$ cuyos elementos son incomparables entre sí). Defina una relación $\leq'$ en $T$ de la siguiente manera: para todo $A$, $B \in T$, $A \leq' B$ si $\forall x \in A, \exists y \in B, x \leq y$.

Me parece que $\leq'$ también es un orden parcial (es reflexivo, transitivo y antisimétrico), y siento que esta construcción es lo suficientemente natural como para ser estándar, pero no puedo encontrar un nombre para ella. ¿Cómo se llama esta construcción? ¿Existen otras formas de extender un orden parcial en un conjunto a un orden parcial en anticadenas?

Pregunta extra: ¿Comparte $\leq'$ algunas propiedades de $\leq$? Por ejemplo, si $\leq$ es un bien-cuasi-orden, ¿$\leq'$ también lo es?

Answer 1

Al menos para posets finitos, existe una correspondencia uno a uno entre anticadenas y conjuntos inferiores (una anticadena $A$ define los conjuntos inferiores de elementos $x$ tal que $\exists y \in A,\,x \leq y$, y viceversa el conjunto de elementos maximales de un conjunto inferior es una anticadena). La relación de orden que acabo de dar es la imagen del orden de inclusión en conjuntos inferiores bajo esta correspondencia: $A \leq' B$ si $\overline{A} \subseteq \overline{B}$ para $\overline{A}$ y $\overline{B}$ los conjuntos inferiores asociados a $A$ y $B$.

El orden inducido por el orden de inclusión de los conjuntos inferiores de un poset es bien conocido: es un retículo distributivo, y el teorema de representación de Birkhoff afirma que la asignación de posets al retículo distributivo del orden de inclusión en su conjunto inferior es uno a uno. Para resumir, la relación de orden que describí en mi pregunta es isomorfa al retículo distributivo asociado a $(S, \leq)$ por el teorema de representación de Birkhoff.

Answer 2

Respecto a la pregunta extra: si $(P,\le)$ está bien cuasi ordenado, entonces $(T,\le') está bien cuasi ordenado, donde $T$ es el conjunto de todos los anticadenas de $P$.

Prueba. Supongamos, para contradecir, que $T$ no está bien cuasi ordenado; es decir, existe una secuencia infinita $A_1,A_2,A_3,\dots$ en $T$ tal que $A_i\not\le'A_j$ siempre que $i\lt j$. Dado que $P$ está bien cuasi ordenado, las anticadenas $A_i$ son finitas.

Para cada $j\gt1$ existe algún $x\in A_1$ tal que $\{x\}\not\le'A_j$. Dado que $A_1$ es finito, existe un elemento $a_1\in A_1$ y un conjunto infinito $N_1\subseteq\{2,3,\cdots\}$ tal que $\{a_1\}\not\le'A_j$ para todo $j\in N_1$.

A continuación, sea $i_2=\min N_1$; existe $a_2\in A_{i_2}$ y un conjunto infinito $N_2\subseteq N_1\setminus\{a_2\}$ tal que $a_2\not\le'A_j$ para todo $j\in N_2$.

Continuando de esta manera, obtenemos una secuencia infinita $\{a_1,a_2,a_3,\cdots\}$ en $P$ tal que $a_i\not\le a_j$ siempre que $i\lt j$; pero esto contradice nuestra suposición de que $P$ está bien cuasi ordenado.

Answer 3

No es cierto, en general, que haya una correspondencia de 1 a 1 entre antic