Es cierto que $8k+3=x^2+y^2+p^2,\forall k\in \mathbb N$?

Question

Es cierto que para cada $k\in \mathbb N,$ podemos encontrar $x,y\in \mathbb Z$ $p=1$ o $p\in P$ tal que $$8k+3=x^2+y^2+p^2$$ ? I checked this for all $k\leq 10^5,$ pero no puede demostrarlo. Gracias de antemano!

Answer 1

Esta conjetura está estrechamente relacionada con la poligonal número teorema (triangular caso):

cada entero positivo es la suma de $3$ triangular números:

$$\forall k \in \mathbb{N}:\qquad k=x+y+z,\qquad x,y,z\in T\tag{1},$$ donde $T$ es el conjunto de los números triangulares: $T = \{0,1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120,136,153,171,...\}$.

(Ver también Gaussiano "Eureka teorema", 1796).

Es fácil ver, que $a,b,p$ debe ser de los números impares.

Denotar $a=2\alpha+1$, $b=2\beta+1$, $p = 2\gamma+1$, donde $\alpha,\beta,\gamma\in \mathbb{Z}_+$.
Entonces $$8k = 4\alpha(\alpha+1)+4\beta(\beta+1)+4\gamma(\gamma+1),$$ $$k = \frac{\alpha(\alpha+1)}{2} + \frac{\beta(\beta+1)}{2} + \frac{\gamma(\gamma+1)}{2},$$ luego de su declaración es equivalente a: $$\forall k\in\mathbb{N}:\qquad k=x+y+z,~~~~~~~x,y\in T, \;\; z\in M\subset T,\tag{2}$$ donde $M$ es el conjunto de los números triangulares, que han patrón de $z=\frac{(p-1)(p+1)}{8}$ donde $p=1$ o $p\in \mathbb{P}$.
$M = \{0,1,3,6,\quad 15,21,\quad 36,45,\quad 66,\quad \quad 105,120, \quad \quad 171, ...\}$.

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Su declaración es más fuerte que la de Eureka teorema. Quizás es cierto.
He comprobado todos los $k\le 5\times 10^8$. No hay contraejemplos aquí.

El algoritmo fue:

1. Crear una matriz de $m[N]$ de las "banderas"($0$/$1$); lo que significa:
   si $m[k]$$0$, $(2)$ es imposible que esto $k$,
   si $m[k]$$1$, $(2)$ es posible para esta $k$;
2. conjunto de todos los valores de esta matriz a cero en un principio: $m[k]=0$;
3. $\forall z\in M$ establecer $m[z]=1$;
4. para cada una de las $m[k]$$1$, para establecer $m[k+t]=1$ donde $t\in T$;
5. (de nuevo) para cada una de las $m[k]$$1$, para establecer $m[k+t]=1$ donde $t\in T$.

Después de eso vamos a comprobar si existen algunos $m[k]=0$.

Parámetros del algoritmo:
- memoria utilizada: $O(N)$,
- tiempo: $O(N^{3/2})$.

Answer 2

Al parecer, esto es un problema difícil. Duque, Friedlander, y Iwaniec mostró en su Int. De matemáticas. Res. Avisos de papel "Weyl sumas cuadráticas raíces" que esto es cierto para todos lo suficientemente grande $k$, pero han tenido que asumir dos grandes conjeturas en la teoría analítica de números (GRH y Elliott-Halberstam). Ver Teorema 1.6, aunque no es indicado para diferentes congruencia de las condiciones de la $N\equiv3\pmod 8$ usted está interesado en.