La construcción de un espacio de Banach de cardinalidad $\beth_{\omega+1}$

Question

Esto está relacionado con el de ayer cuestión de la Construcción de un espacio vectorial de dimensión $\beth_\omega$; el siguiente ejercicio (I. 13.35 (a)) en Kunen de la Teoría de conjuntos.

Deje $B_0 = \ell^1$ y deje $B_{n+1} = B_n^{**}$ ser el continuo segundo doble de $B_n$, así que podemos considerar $B_n$ como un subconjunto de a $B_{n+1}$ en la forma habitual. Deje $B$ ser la finalización de $\bigcup_n B_n$. Mostrar que $|B| = \beth_{\omega+1}$.

He logrado resolver la parte (b) del ejercicio, que dice que cualquier espacio de Banach $X$ $|X| \ge \beth_\omega$ ha $|X| \ge \beth_{\omega+1}$. Por lo que será suficiente para mostrar la $|B| \ge \beth_\omega$ (aunque, dado el orden de las partes del ejercicio, esto puede no ser lo que Kunen tenía en mente).

Presumiblemente, debemos tratar de demostrar que $|B_{n+1}| \ge 2^{|B_n|}$ o algo similar. Pero cuando se trabaja con continuas dobles, no veo cómo hacerlo. Además, cada paso de la inducción es de alguna manera va a tener que usar el hecho de que empezamos con $B_0 = \ell^1$, ya que si $B_0$ había sido un espacio reflexivo, que no volvería a trabajar. También tenemos que descartar la posibilidad de que una de las $B_n$ resulta ser reflexivo.

Cualquier sugerencias son bienvenidas.

Answer 1

Tratemos de estimación $|B|$ de los de abajo. Cada espacio $B_{n-1}^*$ ($n\geqslant 1)$ es de la forma $C(K_n)$ para algunos compacto Hausdorff espacio. Por ejemplo, $K_1 = \beta\mathbb{N}$$|K_1| = \beth_1$. En particular, por la Riesz–Markov–Kakutani representación teorema de cada espacio de $B_n$ es isométrico para el espacio de $M(K_n)$ de Radón medidas en $K_n$. Por otra parte, podemos incrustar injectively $K_{n}$ ($n\geqslant 1$) en $B_n$ a través de $$x\mapsto \delta_x\;(x\in K_n).$$ The subspace $D_n:=\overline{\mbox{span}}\{\delta_x \colon x\in K_{n}\}\subconjunto B_n$ is isometric to $\ell_1(K_{n})$.

Vamos a probar inductivamente que $|B_{n}|\geqslant \beth_{n}$ por cada $n\geqslant 2$.

Supongamos que $|D_n|\geqslant \beth_{n}$. Está claro que $|B_n|\geqslant |D_n|=|\ell_1(K_n)|=|K_n|$. En particular, $|K_n|\geqslant \beth_n$.

Nos afirman que $|D_{n+1}|\geqslant \beth_{n+1}$. De hecho, $$|B_n^{**}|\geqslant |D_n^{**}|=|C(\beta |K_{n}|)^{*}|\geqslant |\beta |K_{n}||\geqslant 2^{\beth_{n}}=\beth_{n+1},$$ donde la última desigualdad se sigue de Pospíšil del teorema.

Así pues, hemos demostrado que $|B|\geqslant \beth_\omega$. Sin embargo, si $\kappa$ es la cardinalidad de un espacio de Banach, entonces $\kappa^{\aleph_0}=\kappa$. En consecuencia, $|B|\geqslant (\beth_\omega)^{\aleph_0}=\beth_{\omega+1}$ (ver este hilo para la prueba).

El opuesto de la desigualdad es bastante fácil.