Supongamos que x se puede escribir como suma de dos cuadrados de números enteros, y y z se puede escribir como suma de dos cuadrados de los números enteros. Mostrar que xy también puede ser escrito como suma de dos cuadrados de los números enteros.
Respuestas
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$$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2 +(ad+bc)^2.$$
Comentario: vamos a $u=a+ib$ $v=c+id$ ser números complejos, con $a,b,c,d$ real. A continuación,$uv=(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)$. La identidad de la respuesta, dice que la norma del producto $uv$ es igual al producto de las normas. Todo está conectado con todo lo demás!
Michael Hardy
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Para ampliar un poco en la respuesta publicada por André Nicolas:
https://en.wikipedia.org/wiki/Brahmagupta%E2%80%93Fibonacci_identity
\begin{align} \left(a^2 + b^2\right)\left(c^2 + d^2\right) & {}= \left(ac-bd\right)^2 + \left(ad+bc\right)^2 \tag1 \\ & {}= \left(ac+bd\right)^2 + \left(ad-bc\right)^2. \tag2 \end{align}
Por lo tanto, hay más de una manera de escribir un producto de dos sumas de dos cuadrados como una suma de dos cuadrados.
Por ejemplo, $$(1^2 + 4^2)(2^2 + 7^2) = 26^2 + 15^2 = 30^2 + 1^2.$$
(El 6 de abril de 2006, escribió una página de la Wikipedia titulado "Fibonacci de la identidad". Aquí está lo que se ve en 20 de abril: https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Fibonacci%27s_identity&oldid=50311836) Luego de que se ha aceptado en un artículo mayores, vinculada a la anterior, y me hizo "de Fibonacci de la identidad en una página de desambiguación.)
