El papel de espacio dual de una normativa espacio en el análisis funcional

Question

Hemos sabido que el espacio dual de una normativa espacio es muy importante en el análisis funcional.

Me gustaría hacer dos preguntas relacionadas con el espacio dual de una normativa espacio:

1. ¿Cuál es la motivación de construir el espacio dual de una normativa espacio?

2. ¿Cuál es la principal función de espacio dual de una normativa espacio en el análisis funcional?

Gracias por toda su construcción y comentarios.

Answer 1

Cuando consideramos finito de espacios dimensionales $V$, podemos hacer esto, generalmente, por la elección de una base $v_1, \ldots, v_n$ y mirar el por medio de la presente isomorfismo $T\colon V \to \mathbb K^n$$Tv_i = e_i$. Otra forma de ver esto es que estamos describiendo un general $v \in V$ por sus coordenadas $\lambda_i(v) := \pi_i(Tv)$ donde $\pi_i \colon \mathbb K^n \to \mathbb K$ es la proyección sobre la $i$-ésimo factor. Es útil tener una descripción única por los números reales en la mano, para que podamos utilizar todas las propiedades de $\mathbb K$ ya hemos establecido. El punto principal aquí es que sabiendo todo lo $\lambda_i(v)$ nos da $v$.

En infinitas dimensiones, generalmente tenemos ninguna base para la mano. CA nos da la existencia, pero esto no es muy útil en los cálculos. La idea de considerar funcionales puede ser visto como una generalización de la $\lambda_i \colon V \to \mathbb K$ desde arriba. En lugar de mirar a algunos (bien elegido) funcionales de $V$ $\mathbb K$nos fijamos en todos ellos, es decir, en el conjunto de $X^* = \{x^* \colon V \to \mathbb K \mid x^* \text{ linear, continuous}\}$ y funciona bastante bien como un reemplazo de la coordenada funcionales.

Por ejemplo, de Hahn-Banach nos ayuda a distiguish elementos de $X$ en el siguiente sentido: $$ x \ne s \ffi \exists x^* : x^*(x) \ne x^*(y). $$ Como con las coordenadas, nuestro generialized "coordenadas" $\bigl(x^*(x)\bigr)$ $x\in X$ nos permiten reformular problemas en $X$ a problemas en $\mathbb K$, que a menudo son más fáciles de resolver.

Answer 2

Supongamos que usted está estudiando algunos finito dimensional espacio vectorial topológico $X$ (que, a su vez, debe ser isomorfo a $\mathbb{C}^d$), entonces supongo que la cosa más natural que hacer es introducir coordenadas. O, de manera equivalente, elija una base $\{e_j\}_{j=1}^d$, de modo que cada una de las $x=\sum x_j e_j\in X$ está representado por $(x_1,x_2,\dots, x_d)$. Las asignaciones $x\mapsto x_j$ y sus lineal abarca son exactamente lineal continua y funcionales para $X$, y para $X=\mathbb{C}^d$,el doble de espacio también es $\mathbb{C}^d$.Así que usted puede ver el doble espacio de infinitas dimensiones de los espacios es sólo una generalización de las coordenadas.

Sin embargo, la continua lineal funcionales son mucho más útiles que los coordina, principalmente porque la estructura topológica y algebraico de estructura no son tan bien educados para espacios de infinitas dimensiones (que determinar cada uno de los otros para finito de espacios dimensionales). Ellos se convierten en indispensables a través de la colección de teoremas que llevan el nombre de Hahn-Banach, con lo cual (al menos en la norma configuración del espacio) uno puede separar los puntos de subespacios cerrados, de cuerpos convexos, etc.

Así que creo que a partir de aquí ya es claro lineal continua funcionales son como las coordenadas, pero que de alguna manera se puede combinar algebraicas (lineal) de la estructura y la topología. Cuando el espacio es complicado, el estudio de las funciones en el espacio (que respetar ciertas propiedades del espacio). Esto es como el tema detrás de dual espacios.

Desde otro punto de vista, también son muy naturales en el sentido de que muchos de los objetos (evaluación, integración y distribución) puede ser realizada como continuo a través de ciertos espacios.

Answer 3

Lineal continua funcionales son "dispositivos de medición" específicamente diseñado para observar los diferentes aspectos de los vectores en el espacio vectorial. Buscando en un espacio dual es una manera de estudiar el espacio original en contemplar todas las posibles medidas que se podrían realizar en él.

Los funcionales (mediciones) están restringidas a las continuas funciones lineales, ya que son suficientes para completamente determinar los vectores en el espacio. La adición no lineales o discontinua funcionales sería redundante y complicar las cosas.

Además, lineal funcionales son aquellos dispositivos de medición donde la cantidad medida se puede atribuir "unidades" (longitud, masa, tiempo, lo que sea) en consonancia con las unidades del espacio original, y continua funcionales son los dispositivos de medición en el cual pequeños cambios en la cantidad producir pequeños cambios en la medición.