Por ahora, voy a dar una reformulación de este problema en los términos que debería hacer más fácil para atacar con métodos analíticos (al menos para obtener resultados sobre el comportamiento asintótico) y simplificar en gran medida de las simulaciones. En un segundo tiempo, quizás también el intento de resolverlo, pero yo no garantiza ningún tipo de éxito.
Mi reformulación de este problema se basa en las siguientes dos observaciones:
- En las esferas, siempre es más fácil trabajar con ángulos que con las distancias. Por lo tanto, vamos a trabajar siempre en una esfera de radio $r=1$, definir un ángulo de $\epsilon$ correspondiente a la unidad, y decir que $A$ $B$ conocer si el ángulo entre ellos es menor o igual a un cierto ángulo $\beta$.
- Si es posible, es mejor tener sólo una cosa se mueve. Por lo tanto, vamos a cambiar nuestro punto de vista y revisión de nosotros mismos en el sistema de referencia de una de las dos personas, digamos persona $B$. Vamos a tomar este momento para ser el polo norte (por la forma esférica de las coordenadas que nos encontraremos en). A la luz de la primera observación, la única variable de interés para nosotros va a ser igual a la latitud $A$ se encuentra en.
Para el matemático detalles:
Primero tenemos que arreglar nuestro sistema de coordenadas. Deje $\phi$ ser la longitud (esta variable será útil para los cálculos, pero irrelevante en la final), y $\theta$ ser igual a la latitud. Ponemos el polo norte $B$ a una latitud de $\theta = 0$, y el polo sur está a $\theta = \pi$. Vamos a denotar posiciones de coordenadas $(\theta,\phi)$.
Aviso que por simetría esférica, $A$ $B$ bot de tomar un paso es igual a $B$ permanecer en el lugar y $A$ dar dos pasos. Vamos a empezar por ver qué pasa cuando $A$ da un paso. Digamos que $A$ comienza en la posición $(\theta,\phi)$. Sólo estamos interesados en la probabilidad de $A$ aterrizaje a una latitud de $\theta'$. Observe que $P[A\text{ lands at }\theta'\le\theta_0]$ está dada por la relación de la circunferencia del círculo en el ángulo $\epsilon$ $A$ por debajo del meridiano a $\theta_0$. Para encontrar esto, me refiero a que esta respuesta por @Aretino, dando
$$P[A\text{ lands at }\theta'\le\theta_0] = 1 - \frac{1}{\pi}\arccos\left(\frac{\cos\theta' - \cos\epsilon\cos\theta}{\sin\epsilon\sin\theta}\right)$$
siempre que el término entre corchetes es en $[-1,1]$, e $0$ o $1$ más (dependiendo $\theta'$). La función de distribución de $f_\theta(\theta')$ dando la probabilidad de la tierra en $\theta'$ después de un paso de comenzar a $\theta$ se pueden encontrar, como es habitual, la diferenciación de esta probabilidad:
\begin{align}
f_\theta(\theta') = & \frac{\partial}{\partial\theta'}\left(1 - \frac{1}{\pi}\arccos\left(\frac{\cos\theta' - \cos\epsilon\cos\theta}{\sin\epsilon\sin\theta}\right)\right)\\
= & \frac{\sin\theta'}{\sqrt{1 - \left(\frac{\cos\theta' - \cos\epsilon\cos\theta}{\sin\epsilon\sin\theta}\right)^2}}\\
= & \frac{\sin\epsilon\sin\theta\sin\theta'}{\sqrt{\cos\theta'(2\cos\epsilon\cos\theta - \cos\theta') + \sin^2\theta - \cos^2\epsilon}},
\end{align}
y $0$ fuera del dominio de definición de la función original. La probabilidad de aterrizaje en $\theta'$ después de dos pasos a partir de a $\theta$ es por lo tanto, dado por
$$F_\theta(\theta') = \int_0^\pi f_\theta(\theta'')f_{\theta''}(\theta')d\theta''.$$
Tengo algunas dudas esto se puede hacer analíticamente, pero tal vez algunos aproximación puede dar algo útil.
Teniendo en cuenta estos datos, podemos tener la esperanza de ser capaz de hacer algo, al menos para encontrar asintótica de los límites para la al $\epsilon\to0$, y si no, al menos, simplificar en gran medida de las simulaciones, como estamos reducidos a la simulación de un paseo en una línea (parametrizadas por $\theta$) con un no-uniforme de probabilidad para desplazarse a puntos cercanos.
