¿Qué es un Kernel y ¿cómo se puede describir en el mundo real y cómo puede ser bien definidos y con precisión. Traté de preguntar a mi profesor y él sólo nos dicen que es sólo idea abstracta.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Eric Towers
Puntos
8212
Los núcleos de medir lo que se ignora cuando la conversión de un tipo de cosa en otro tipo de cosa. Hacemos esto todo el tiempo en el mundo real.
Considere el viento. En realidad aire en movimiento ha de componentes de la velocidad en el 3-espacio: izquierda-derecha, adelante-atrás, arriba-abajo, que podemos reunir en un vector $(x,y,z)$. Sin embargo, no nos informe de velocidad del viento de esta manera. Nos informan de la velocidad del viento como una brújula en dirección y magnitud, que recogemos en una tupla $(\theta, s)$. (Necesitamos un convenio para qué hacer cuando la velocidad es cero, ya que no hay dirección para asignar a una velocidad cero. Utilizaremos $\theta = 0$ al $s = 0$.) Esto significa que todos los verticales información acerca de la velocidad del viento es tirado a la basura cuando se informó. Hay un mapa del espacio vectorial de $(x,y,z)$s en el espacio de las $(\theta,s)$s. Cualquier vectores con el mismo $x$ $y$ componente son enviados a una $(\theta,s)$ par, de nuevo, el $z$ componente se descarta en este mapa. Una forma de indicar lo que este mapa de descartes es escribir su núcleo, el subespacio vectorial generado por $(0,0,1)$, cuyos miembros son $(0,0,z)$ por cada $z \in \Bbb{R}$. Todos estos vectores se asignan a la "sin viento" vector $(0,0)$. También, cualquiera de los dos vectores que se diferencian por un elemento del núcleo (es decir, "que sólo se diferencian en su $z$ componente") son enviados a la misma $(\theta, s)$ par. De esta manera, vemos que la imagen de dos vectores que sólo difieren en algo en el kernel es el mismo.
(El $(\theta, s)$s no forman un espacio vectorial. Que realmente mapa de $(x,y,z) \mapsto (x,y) \mapsto (\theta,s)$. El primer mapa es un espacio vectorial homomorphism. El segundo mapa no es. Si queremos limitarnos al espacio vectorial de los mapas, luego de una discusión similar se tiene para el mapa de $(x,y,z) \mapsto (x,y)$. No es cierto potencial para la confusión aquí desde el mapa de $(x,y) \mapsto (\theta,s)$ no es un espacio vectorial homomorphism, así que puede que no haya una definición para su kernel o del núcleo de la composición. Desde el segundo mapa es un bijection, sólo el primer mapa ignora la información, de modo que el núcleo de la composición de los dos mapas es el núcleo de la primer mapa (desde el segundo mapa se $(0,0)$$(0,0)$). Este es el tipo de cuidado de la construcción uno utiliza cuando la formalización de las aplicaciones del mundo real, pero con cuidado, incluyendo estos detalles hace que el párrafo de arriba un poco difícil de seguir en el primer paso.)
Ahora considere la posibilidad de convertir valores expresados en diferentes monedas. Cada moneda tiene sólo un valor cero, que generalmente se expresa como cero. Y este cero es la identidad a la deseable operación para el dinero: la acumulación de más dinero. Cuando se acumulan cero más dinero, el dinero total no se modifica. Así que cuando puedo convertir de dracmas a yenes, rublos para dinar, o de pesos para renminbi, el único valor que se envía a la cero es igual a cero: $0 \text{ drachmas} \rightarrow 0 \text{ yen}$. En todos estos casos, el kernel es sólo $\{ 0\}$. (Esto significa que estos mapas son inyectiva, ya que este mapa no tire a la basura cualquier información, por cada punto de la serie original se envía a un punto de la serie final.)
Al menos, eso es lo que nos gustaría pensar. Si resulta que una moneda tiene muy poco valor en comparación con otro, puede ser un rango de valores enviados a cero. Por ejemplo, ahora, 1 dólar vale alrededor de 30.000 rial Iraní. Desde la unidad mínima de la moneda estadounidense es de 0,01 dólares, 149 rials se redondea a cero. Esto significa que "el conjunto de todas las posibles cantidades de riales Iraníes" puede ser dividido en subconjuntos de cada una de las cuales se asigna el mismo número de dólares. Es decir, este mapa arroja información. Hasta detallado de las cuestiones de cómo redondeo de las obras, estos subconjuntos son todos congruentes, lo que significa que cualquiera de los dos valores que difieren tan poco, que viven en un subconjunto (en uno que no se superponen copia del kernel) se envían a la misma cantidad de dólares. Así que este mapa no es inyectiva.
Las manzanas se venden por peso, no el tamaño. Cuando usted pesa manzanas para asignar un precio a ellos, ignora todo acerca de ellos, excepto su peso. El núcleo de este mapa es de todo excepto de peso. Tiene un prolato de apple y un oblato de apple? No importa, siempre y cuando tengan el mismo peso.
mkoryak
Puntos
18135
Adolfo respuesta nos dice que el núcleo de un lineal mapa. También existe la idea de que el núcleo de un homomorphism. Puedo decirte lo que es. En primer lugar, esta es una idea abstracta. Yo no se preocupe demasiado acerca de encontrar a algunos de los del mundo real equivalente a este. Esto, por supuesto, no significa que el concepto es completamente aleatorio. Tal vez su álgebra maestro puede decirle cómo la definición del núcleo es la motivación. Él/ella podría decirte que un día escuche sobre el Primer Teorema de Isomorfismo y que esto podría responder a la pregunta.
De todos modos, Vamos a $G$ $H$ grupos. Deje $\phi:G \to H$ ser un homomorphism. Recuerde que todo esto significa es que el $\phi(xy) = \phi(x)\phi(y)$ todos los $x,y\in G$ (escrito en notación multiplicativa). El núcleo de $\phi$ es precisamente $$ \ker\phi = \{x\in G : \phi(x) = e_H\} $$ donde $e_H$ es el elemento de identidad en $H$.
Un hecho interesante sobre el núcleo de un homomorphism es que es un (normal) subgrupo del dominio $G$.
Otro dato curioso es que un homomorphism es de uno a uno (inyectiva) exactamente cuando el núcleo contiene un solo elemento (la identidad en $G$). Así que, en cierto sentido, el tamaño del núcleo dice algo acerca de cómo inyectiva el mapa. Por ejemplo, si usted tiene un surjective homomorphism con un núcleo que contiene sólo la identidad de $G$, entonces el homomorphism es un isomorfismo.
amd
Puntos
2503
Un área en la que los núcleos de los operadores lineales en un mundo de significado físico es redes eléctricas. Allí, usted tiene una red que consta de un conjunto de nodos y un conjunto de ramas que conectan estos nodos, junto con un "límite operador" $\partial$, que básicamente dice que los nodos se encuentran en los extremos de cada rama, y se asigna una dirección a cada sucursal. Se puede definir un espacio vectorial indexados por las ramas que describe las asignaciones de las corrientes de las ramas y una relacionada con el espacio vectorial indexados por los nodos que da a la red de corriente que fluye dentro o fuera de cada nodo. El límite de operador, a continuación, se indica cómo calcular el neto nodo corrientes, dado un conjunto de corrientes. El núcleo de $\partial$ se compone de los de la rama actual de los proyectos para los que la red actual en todos los nodos es igual a cero, pero eso es exactamente de Kirchhoff de la ley actual de las redes eléctricas, de modo que el núcleo de $\partial$ captura todo lo físicamente posible distribuciones de corriente. Hay otros operadores que se pueden definir en estos espacios y sus duales cuyos núcleos y las imágenes también tienen importantes de la física significados.
