Tengo poco conjetura. Tal vez sea estúpido, no sé.
Deje $p>5$ ser un número primo. A continuación, $(3^p-1)/2$ es siempre squarefree?
Es cierto que para $p<192$.(Yo Mathematica.)
Respuestas
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Dietrich Burde
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Esto es aún desconocida para los habituales de los números de Mersenne $M_p=2^p-1$. Todos los números de este tipo, donde la factorización es conocido, son squarefree. Sin embargo, Guy (1994) considera que existe una $M_p$ que no squarefree. Hasta donde yo sé, una conjetura similar se tiene para $N_p=3^p-1$$N_p/2$.
Si $q^2$ divide $3^p-1$ con una extraña prime $p$, $q$ debe ser un Wiefierich-prime a base $3$. El único conocido Wieferich-prepara a base de $3$ se $11$ $1006003$ (https://oeis.org/A014127). No existe ningún otro ejemplo de debajo de $10^{15}$.
El ejemplo $11^2|3^5-1$ fue descartado por su condición de $p>5$. No es el primer $p>5$ $11^2|3^p-1$ debido a que el orden de $3$ modulo $11^2$$5$.
El orden de $3$ modulo $1006003^2$$1006002$. Dado que este no es el primer, $3^p-1$ no puede ser divisible por $1006003^2$.
Por eso, $3^p-1$ es casi seguro squarefree para $p>5$.
