Acostada sobre el teorema sin el Axioma de Elección

Question

Esta pregunta está motivada por este y este. Puede que la siguiente proposición ser probado sin el Axioma de Elección?

La proposición: Deje $k$ ser un campo. Deje $A$ $B$ ser álgebras conmutativas sin cero-divisores que son finitely generado más de $k$. Supongamos que $A$ es un sub-anillo de $B$ $B$ integral $A$. Deje $P$ ser un primer ideal de $A$. Entonces existe un primer ideal $Q$ $B$ tal que $P = A \cap Q$.

Answer 1

Definición 1 Deje $A$ ser un anillo conmutativo. Supongamos $A$ tiene un único ideal maximal. Podemos decir $A$ es un anillo local en el sentido usual de la palabra.

Definición 2 Deje $A$ ser un anillo conmutativo. Deje $P$ a ser un ideal de a $A$. Supongamos que cada elemento de a $A - P$ es invertible. Luego nos dice $A$ es estrictamente un anillo local. Claramente $P$ es el único ideal maximal de a $A$. Por lo tanto $A$ es un anillo local en el sentido usual de la palabra.

Nota 1 Se puede demostrar mediante el uso de CA que un anillo local en el sentido habitual es estrictamente un anillo local. Sin embargo, no se supone que el uso de CA aquí.

Lema 1 Deje $A$ ser conmutativa anillo. Deje $P$ ser un primer ideal de $A$. A continuación, $A_P$ es estrictamente un anillo local.

Prueba: Claro.

Definición 3 Deje $A$ ser un dominio. Deje $P$ ser un primer ideal de $A$. Deje $k$ a ser el campo de fracciones de $A/P$. Deje $K$ ser un campo que contiene $A$ como un sub-anillo. Deje $x$ ser un elemento de $K$. Deje $x'$ ser un elemento de algún campo que contenga $k$. Podemos decir $x'$ es un specialzation de $x$ $P$ y escribimos $x \rightarrow x'$$P$, si existe un homomorophism $\psi:A[x] \rightarrow (A/P)[x']$ ampliación de la canónica homomorphism $A \rightarrow A/P$$\psi(x) = x'$. Esto es equivalente a que $\tilde{f}(x') = 0$ siempre $f(X) \in A[X]$ tal que $f(x) = 0$donde $\tilde{f}(X) \in (A/P)[X]$ es la reducción de $f(X)$ mod $P$.

Lema 2 Deje $A$ ser estrictamente local de dominio. Deje $\mathfrak{m}$ ser el único ideal maximal de a $A$. Deje $k = A/\mathfrak{m}$. Deje $K$ ser un campo que contiene A. Deje $x \in K$. Supongamos $x$ no tiene specializaion en cualquier finito campo de la extensión de $k$$\mathfrak{m}$. A continuación, $x$ no es cero y $1/x \rightarrow 0$$\mathfrak{m}$.

Prueba: Vamos $P$ = {$f \in A[X]$; $f(x) = 0$}. $P$ es un ideal de a $A[X]$. Deje $P'$ a ser el ideal de $k[X]$ generado por el conjunto {$f(X)$ (mod $\mathfrak{m}$); $f(X) \in P$}. Pretendemos que $P' = k[X]$. Supongamos lo contrario. A continuación, $P'$ es generado por un polinomio $h(X) \in k[X]$ donde $h(X)$ no es un no-cero constante. Por lo tanto $h(X)$ tiene una raíz $x'$ en un número finito de extensión de k. A continuación, $x \rightarrow x'$ $\frak{m}$ Esta es una contradicción. Por lo tanto, no existe $f(X) \in P$ tal que $f(X)$ (mod $\mathfrak{m}$) es distinto de cero constante. Deje $f(X) = a_mX^m + ... + a_0$. Entonces $a_0 \in A - \mathfrak{m}$, $a_i \in \mathfrak{m}$ para $i > 0$. Suponemos que $m$ es mínima entre los grados de dichos polinomios. Deje $y = 1/x$. Deje $g(Y) = a_0Y^m + ... + a_m$ ser un polinomio en $A[Y]$. A continuación,$g(y) = 0$. Deje $h(Y)$ ser cualquier polinomio en $A[Y]$ tal que $h(y) = 0$. Desde $A$ es un estricto anillo local, $a_0$ es invertible. Por lo tanto $Z^{m-1}h(Y) = g(Y)q(Y) + r(Y)$ donde $q(Y), r(Y) \in A[Y]$ y deg $r \leq m - 1$. Sustituyendo $Y$ $y$ obtenemos $r(y) = 0$. Tomando las reducciones de mod $\mathfrak{m}$ de ambos lados, obtenemos $Y^{m-1}\tilde{h}(Y) = \tilde{a_0}Y^m\tilde{q}(Y) + \tilde{r}(Y)$. Por lo tanto $\tilde{h}(0) = \tilde{r}(Y)$. Desde $\tilde{r}(Y)$ no puede ser un no-cero constante por el minimality de $m$, $\tilde{h}(0) = 0$. Por lo tanto $z \rightarrow 0$$\mathfrak{m}$. QED

Nota 2 La idea de la prueba del Lema 2 es tomado de Weil Fundamentos de la geometría algebraica. Según él, la idea es debido a Chevalley. Véase también la Nota 3 a continuación.

Lema 3 Deje $A$ ser un dominio. Deje $P$ ser un primer ideal de $A$. Deje $k$ a ser el campo de fracciones de $A/P$. No existe un único homomorphism $A_P \rightarrow k$ ampliación de la canónica homomorphism $A \rightarrow A/P$.

Prueba: Claro.

Lema 4 Deje $A$ ser un dominio. Deje $P$ ser un primer ideal de $A$. Deje $k$ a ser el campo de fracciones de $A/P$. Deje $K$ ser un campo que contiene Un como un sub-anillo. Deje $x \in K$. Supongamos $x$ no tiene specializaion en cualquier finito extensión de $k$$P$. A continuación, $x$ no es cero y $1/x \rightarrow 0$$P$.

Prueba: Deje $B = A_P$. Por el lema 1, $B$ es estrictamente un anillo local. Supongamos $x \rightarrow x'$$PA_P$. Por el Lema 3, $x \rightarrow x'$$P$. Por lo tanto $x$ no tiene specializaion en cualquier finito extensión de $k$$PA_P$. Por el Lema 2, $1/x \rightarrow 0$$PA_P$. Por lo tanto, por el Lema 3, $1/x \rightarrow 0$$P$. QED

Nota 3 Lema 4 es una generalización de la de Weil Fundaciones. Lo demostró al $A$ es un finitely generado dominio de más de un campo. Nuestro Lema 4 trata no sólo de un caso donde $A$ $A/P$ tienen iguales características, pero también un caso de desigualdad.

Nota 4 Como van der Waerden y Weil mostró, Lema 4 tiene amplias aplicaciones en la geometría algebraica. Por ejemplo, Hilbert Nullstellensatz puede ser demostrado mediante el uso de ella.

Lema 5 Deje $A$ ser un dominio. Deje $P$ ser un primer ideal de $A$. Deje $k$ a ser el campo de fracciones de $A/P$. Deje $K$ ser un campo que contiene $A$ como un sub-anillo. Deje $x \in K$. Supongamos $x$ integral $A$. Entonces existe una extensión finita $k'$ $k$ $x' \in k'$ tal que $x \rightarrow x'$$P$.

Prueba: Supongamos que no existe tal x'. Por el Lema 4, existe una homomorophism $\psi:A[1/x] \rightarrow k$ tal que $\psi(1/x) = 0$ ampliación de la canónica homomorphism $A \rightarrow A/P$. Deje $y = 1/x$. Desde $x$ integral $A$, $x^n + a_1x^{n-1} + ... + a_0 = 0$. Por lo tanto $1 + a_1y + ... + a_0y^n = 0$. La aplicación de $\psi$, obtenemos $1 = 0$. Una contradicción. QED

La proposición Deje $B$ ser un dominio. Deje $A$ ser un sub-anillo de $B$. Supongamos $B$ es finitely genera como una $A$-módulo. Deje $P$ ser un primer ideal de $A$. Deje $k$ a ser el campo de fracciones de $A/P$. Entonces existe una extensión finita $k'$ $k$ y un homomorophism $\psi:B \rightarrow k'$ ampliación de la canónica homomorphism $A \rightarrow A/P$.

Prueba: De esta manera se sigue Inmediatamente del Lema 5.

Corolario Deje $B$ ser un dominio. Deje $A$ ser un sub-anillo de $B$. Supongamos $B$ es finitely genera como una $A$-módulo. Deje $P$ ser un primer ideal de $A$. Entonces existe un primer ideal $Q$ $B$ tal que $P = A \cap Q$.

Prueba: Esto se sigue Inmediatamente de la proposición.