¿Es positiva la siguiente integral?

Question

Para cada número entero positivo $n$ , considere el siguiente intgral: $$\int_0^\infty\int_0^\infty\frac{(x^4-y^2)x^{2n+1}}{(x^4+y^2)[(1+x^2)^2+y^2]^{n+1}}dxdy.$$ Quiero saber si hay alguna manera fácil de ver que es positivo. Si no hay ninguna prueba fácil para demostrar que es positivo, me doy por satisfecho si sé que es positivo. No necesito saber el valor exacto de la integral. Intento escribir la integral como $$\int_0^\infty\int_0^\infty\frac{x^{2n+1}}{[(1+x^2)^2+y^2]^{n+1}}dxdy- \int_0^\infty\int_0^\infty\frac{2y^2x^{2n+1}}{(x^4+y^2)[(1+x^2)^2+y^2]^{n+1}}dxdy,$$ pero me parece que no ayuda mucho.

Answer 1

Comience con la sustitución sugerida por @alex.jordan: $u=\sqrt{x}, v=y$ . Entonces piensa en $(u,v)$ como coordenadas cartesianas con la integral sobre el primer cuadrante. Cambio a coordenadas polares $u=r\cos\theta, v=r\sin\theta$ para obtener $$\hbox{your integral } = I_n = \frac12\int_0^\infty r^{n+1} dr \int_0^{\pi/2} \frac{\cos^n\theta(\cos^2\theta-\sin^2\theta)}{(r^2+2r\cos\theta+1)^{n+1}}d\theta.$$ Dividir $$J_n=\int_0^{\pi/2} \frac{\cos^n\theta(\cos^2\theta-\sin^2\theta)}{(r^2+2r\cos\theta+1)^{n+1}}d\theta$$ en $\theta=\pi/4$ para obtener integradas que sean obviamente positivas y negativas. En el subintervalo $\theta\in[\pi/4,\pi/2]$ cambiar la variable a $\theta^\prime=\pi/2-\theta$ - el dominio para la segunda integral es ahora $\theta^\prime\in[0,\pi/4]$ - y, a continuación, cambie el nombre de $\theta^\prime$ a $\theta$ . Recombinando las dos integrales se obtiene $$J_n=\int_0^{\pi/4} (h_n(r,\cos\theta)-h_n(r,\sin\theta))(\cos^2\theta-\sin^2\theta)d\theta$$ donde $$h_n(r,z)=\frac{z^n}{(r^2+2rz+1)^{n+1}}.$$ Para $n\geq 2$ es una función creciente de $z$ en $[0,1]$ lo que es suficiente para demostrar que el integrando en la segunda representación de $J_n$ es positivo. Creo que esto se ocupa de todo menos del caso $n=1$ .

Answer 2

Es una idea solamente, pero demasiado larga en el comentario (me he quedado sin espacio.)(Lo siento.) Siguiendo la idea de @alex.jordan, introducir las nuevas variables $X:=\sqrt{x}, Y:=\sqrt{y}$ por pasos. Entonces obtenemos $$\int_0^{\infty}\int_0^{\infty}\frac{(X^2-Y)X^n}{4(X^2+Y)((1+X)^2+Y)^{n+1}\sqrt{Y}}\,dXdY$$ Ahora utilizamos la transformación $X^2+Y=u,(1+X)^2+Y=v$ . Entonces el valor abs'de Jacobi-det es $\frac{1}{2}$ y obtenemos $$\int_0^{\infty}\int_1^{\infty} \frac{\left(\frac{1}{2}-v+\frac{1}{2}u^2-uv+\frac{1}{2}v^2\right)\left(-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}u+\frac{1}{2}v\right)^n}{8uv^{n+1}\sqrt{-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}u+\frac{1}{2}v-\frac{1}{4}u^2+\frac{1}{2}uv-\frac{1}{4}v^2}}\,dvdu.$$ La ventaja de la última integral, que los términos que contienen $n$ en el exponente son simples. Pero tengo que pensar más ...