¿Cuál será la ecuación de movimiento de la impulsados péndulo para amplitudes más allá de la aproximación de ángulo pequeño?

Question

A la hora de encontrar el período de un péndulo más allá de la aproximación de ángulo pequeño, tenemos que usar la integración para el pequeño intervalo de $\theta$ elípticas y de integración.

Yo estaba tratando de aplicar esta situación para el péndulo. Cuando el uso de pequeñas ángulo de aproximación, la ecuación de movimiento sería como el de abajo. $$I \ddot{x}(t)+b \dot x(t)+m g l x(t)=F\cos(\omega t)$$

• $I$ : momento de inercia de la
• $b$ : coeficiente de amortiguamiento
• $m$ : masa
• $g$ : aceleración de la gravedad
• $l$ : distancia entre el CM del sistema y el origen de la rotación
• $F$ : amplitud de la fuerza externa
• $\omega$ : frecuencia angular de la fuerza externa
• $x$ : desplazamiento angular
• $t$ : tiempo

Cuando no se usa el pequeño ángulo de aproximación, la ecuación anterior sería cambiado. $$I \ddot x(t)+b\dot x(t)+m g l\sin(x(t))=F\cos(\omega t)\cos(x(t)).$$ Entonces, ¿cómo resolver esta ecuación diferencial? Traté de simular el resultado con Mathematica DSolve, pero no mostrar la solución. Aunque he trazado el gráfico con NDSolve, quiero saber la manera de resolver la ecuación diferencial.

Answer 1

Como se ha mencionado en los comentarios, la ecuación diferencial es que no se pueden resolver analíticamente. Lo que uno puede hacer es que uno puede ir más allá de la aproximación de ángulo pequeño en forma controlada por Taylor ampliar el seno y la función coseno y encontrar (por ejemplo, ampliando hasta el fin de $x^3$)

$$I \ddot x + b\dot x + mgl\left( x - \frac{x^3}{6}\right) = F \cos(\omega t) \left( 1 - \frac{x^2}{2} \right) $$

Esto todavía no es una ecuación diferencial lineal y es posible que no se pueda resolver, pero abre la puerta a la Teoría de la Perturbación, que es la principal herramienta a utilizar cuando se va por encima aproximaciones lineales.

Answer 2

Las soluciones para un forzado/impulsado péndulo puede ser caótico, en el sentido de la teoría del caos, por lo que el tiempo puede incluso no existir! Para ver un tutorial sobre estas notas del curso , por ejemplo. Qué se puede hacer con un forzado impulsadas/péndulo es a simular y calcular los diferentes caos-la teoría de los parámetros relacionados con: los exponentes de Lyapunov, mapa de Poincaré, etc. Existen numerosos recursos en la web para eso. Aquí hay un par de dichos recursos:

• Un Mathematica CDF, que tiene algunos [de pie]notas sobre el establecimiento.
• Hay también varias (más o menos molesto) los applets en la web con una similar de la simulación. Esencialmente, todos ellos están basados en los métodos de Runge-Kuta de soluciones numéricas. Usted puede encontrar más conciso/inteligible código fuente de Java en el Tao Pang Una Introducción a la Física Computacional, páginas 92-93
• Un breve papel en una de Python scipy aplicación.
• Una pregunta acerca de los exponentes de Lyapunov para el péndulo de la ecuación.

Etc. Si lo que quieres es calcular el período para el no-pequeño ángulos no forzados péndulo, Wikipedia tiene algunas respuestas, en particular la muy rápido (en la práctica) Carvalhaes y Suppes aproximación.

Anexo para el más matemáticamente inclinado: la perturbación método no siempre funciona para el forzado el péndulo de la ecuación. En particular, no funciona para Hubbard el péndulo de la ecuación, que es una instancia de la general obligado el péndulo de la ecuación. Hay una relativamente reciente (2008) equipo-aplicada al prueba de comportamiento caótico en ese caso.