¿Preserva la reducción la localización?

Question

¿La localización de un anillo reducido (sin nilpotentes) sigue siendo reducida?

Answer 1

EDIT: Este argumento es incorrecto pero creo que otros podrían aprender de los comentarios de Mariano Suárez-Alvarez así que he hecho el post CW.

Si he entendido bien, usted pregunta si la reducción del anillo implica una reducción de la localización.

Argumentando por contrapositiva, supongamos que la localización no es reducida, es decir, contiene nilpotentes. Dado que los elementos de la localización de nuestro anillo son de la forma $\frac{r}{s}$ donde s es un subconjunto de nuestro anillo que no contiene 0. Entonces elige un elemento nilpotente en la localización $(\frac{r}{s})^{n}=0$ Dado que 0 no está en S debe darse el caso de que $r^{n}=0$ es decir, r es nilpotente. Por lo tanto, el anillo original es nilpotente.

Answer 2

Sea $A$ sea un anillo, $S\subset A$ un subconjunto cerrado multiplicativamente, y supongamos que $0\neq a/b\in A_S$ es nilpotente. Entonces existe $n$ tal que $(a/b)^n=0$ , es decir tal que existe $t\in S$ con $ta^n=0$ . Pero entonces $ta$ es nilpotente en $A$ . Si es cero, entonces $a/b=0$ sur $A_S$ que no lo es.