Sea $X$ el número de ases y $Y$ sea el número de picas. Demuestre que $X$ , $Y$ no están correlacionados.

Question

Se baraja una baraja de 52 cartas y se reparte un puente de 13 cartas. Sea $X$ el número de ases y $Y$ sea el número de picas. Demuestre que $X$ , $Y$ no están correlacionados.

Esto es lo que hice:

$Cov(X,Y) = E[XY]-E[X]E[Y]$

medias no correlacionadas $Cov(X,Y) = 0$ Por lo tanto $E[XY]=E[X]E[Y]$

$E[X] = \sum_{k=0}^{k=4} k \frac{\dbinom{4}{k} \dbinom{48}{13-k}}{\dbinom{52}{13}} $

$E[Y] = \sum_{k=0}^{k=13} k \frac{\dbinom{13}{k} \dbinom{39}{13-k}}{\dbinom{52}{13}} $

¿Son correctas las sumas anteriores? y ¿cómo calculo $E[XY]$ ?

Answer 1

Demostramos que aunque $X$ y $Y$ no son independientes, el expectativa condicional de $Y$ dado $X=x$ es igual a la expectativa simple de $Y$ .

Dado que $x=0$ (sin ases), elegimos $13$ tarjetas del $48$ no ases. El número esperado de picas es entonces $13\cdot \frac{12}{48}=\frac{13}{4}$ .

Dado que $x=1$ (un As), hay dos posibilidades: (i) el As es una pica o (ii) no lo es.

(i) Si el As es una pica (probabilidad $\frac{1}{4}$ ), entonces tenemos $1$ pala asegurada. Además, estamos eligiendo $12$ tarjetas del $48$ no picas, por lo que el número esperado de picas adicionales es $12\cdot\frac{12}{48}$ . Así, (i) contribuye con $\frac{1}{4}\cdot\left(1+12\cdot\frac{12}{48}\right)$ a la expectativa condicional.

(ii) Si el As no es una pica (probabilidad $\frac{3}{4}$ ), el número esperado de picas es $12\cdot \frac{12}{48}$ . Así $$E(Y|X=2)= \frac{1}{4}\cdot\left(1+12\cdot\frac{12}{48}\right)+\frac{3}{4}\left(12\cdot \frac{12}{48} \right).$$ Esto se simplifica a $\frac{13}{4}$ .

Un análisis similar sirve para $X=2$ , $3$ y $4$ . Por ejemplo, si $x=2$ entonces con probabilidad $\frac{1}{2}$ el As de picas está incluido entre los dos Ases, y con probabilidad $\frac{1}{2}$ no lo es. El análogo del cálculo que hicimos para $x=1$ produce $$E(Y|X=2)= \frac{1}{2}\cdot\left(1+11\cdot\frac{12}{48}\right)+\frac{1}{2}\left(11\cdot \frac{12}{48} \right),$$ que de nuevo se simplifica a $\frac{13}{4}$ .

Answer 2

Las sumas para $E[X]$ y $E[Y]$ parecen correctos. Para obtener $E[XY]$ multiplicamos $k\cdot t$ por la probabilidad de $k$ ases y $t$ picas, y suma sobre el $5\cdot 14=70$ pares $(k,t)$ con $0 \le k \le 4$ y $0 \le t \le 13.$ Si ese cálculo resulta ser $kt$ multiplicado por su densidad para $k$ veces la densidad para $t$ obtenido sustituyendo $k$ por $t$ en la parte derecha de su $E[Y]$ (sin la fórmula inicial $k$ antes de la fracción binómica), entonces has terminado, ya que entonces se puede factorizar el sumando en dos factores, uno que depende sólo de $k$ y el otro sólo en $t$ haciendo que la doble suma sea igual al producto $E[X]E[Y]$ .

Creo que lo difícil será mostrar realmente la probabilidad de $k$ ases y $t$ picas es efectivamente la expresión del producto anterior.

Answer 3

Un argumento más lógico que matemático.

Si me dices que una carta es una pica, no mejoro mi conocimiento de que es un as y viceversa, por lo tanto están urcorrelacionadas.

Contrasta esto con decirme si una persona es hombre o mujer con que yo sepa si es madre o padre y viceversa.

pista para las matemáticas

Trate el As de picas como un caso especial, por lo tanto hay otros 3 Ases y otras 12 picas.