Cuando dos funciones son iguales, pero no.

Question

No he visto mucho, pero esto es algo que yo he sido consciente de que sé que tengo que mirar en.

Cuando tengo una función $f(x)=\frac{x+1}{x+1}$, Hay una discontinuidad en $x=-1$, sin embargo, $\frac{x+1}{x+1}=1$ y no tiene ninguna discontinuidad. Es como si fueran iguales, pero no.

Las cualidades de la función no se conservan después de la manipulación algebraica, así que no se puede decir estrictamente que $\frac{x+1}{x+1}=1$.

Esto es un problema para mí cuando la comprensión de las integrales. Por ejemplo, encontrar la integral definida del cociente, si la discontinuidad es dentro de mis límites, no tiene sentido. Pero después de cambiar el cociente a una constante, es posible: pero he encontrado que el área bajo una curva que no estaba completa. He encontrado una solución para un incontestables, insensible a la pregunta.

Espero que me hayas hecho esto en claro. Mi pregunta es, esto es correcto? ¿Cómo puedo venir a los términos con esto?

Answer 1

$x=-1$ es lo que se llama una singularidad removible de su función $f$: si redefinir su función en ese punto se vuelve constante.

Como para la integración, la definición de la integral de Riemann no requiere de la definición de la función en todas partes en el intervalo en cuestión. Sin embargo, para una función que no está definida en algún momento usted podría considerar la posibilidad de una integral impropia, que llegaban al valor correcto. Al llegar a la integración de Lebesgue, tiene la función definida en algún punto está permitido, y no hacer una diferencia.

Answer 2

Probablemente, usted debe pensar de $\frac{x+1}{x+1}$ como tener una singularidad - o, al menos, algún tipo de irregularidad - en x = -1. Esta es la respuesta honesta, no podemos escapar al hecho de que crudamente conectar x = -1 en que la expresión da 0/0. Pero una especie de "moral" no es demasiado duro para omitir esta singularidad, por razones obvias: es una pequeña singularidad (un solo punto) y que nos puede llenar de una manera natural que hace que la función sea continua allí. Una singularidad de este formulario se llama "extraíbles", y que tendemos a identificar las dos funciones, incluso si esto no es estrictamente cierto. Hay otros tipos de singularidades que son más difícil (o imposible) para eliminar: polos y esencial singularidades, por ejemplo. Es posible que desee buscar estos van a ser mencionados en detalle en un libro sobre el análisis complejo.

Answer 3

${x+1\over x+1}=1$ sólo cuando $x\ne -1$. Su función $f$ no es definido en $x=-1$.
La gráfica de $f$ tiene un "agujero" en:

Las cosas pueden ser agradables, aunque: Usted podría redefinir $f$ a tomar el valor de 1 $$ $x=-1$. Esto le daría una nueva función $\tilde f$ que difiere de $f$ en un solo punto. También, $\tilde f$ es idéntica 1; y así, puede ser integrado en cualquier intervalo de longitud finita.

Estrictamente hablando, la integral definida de $f$ más de $[-2,1]$ es indefinido; pero, usted debe ser capaz de convencer a su auto que el área bajo la gráfica de $f$ más de $[-2,1]$, dicen, es 3, ya que el área bajo el "agujero" es 0. Mejor aún, imagina un rectángulo de altura 1 y de muy poca anchura centrada en $x=-1$. El área de ese rectángulo, es muy pequeño; de manera que el área bajo la gráfica de $f$ más de $[-2,1]$ es de 3 (después de la toma de límites apropiados). Esto es lo que Paccio está haciendo en su respuesta.

Answer 4

Una función es un objeto con tres partes: un conjunto de entradas de llamada de su dominio, de un conjunto de posibles salidas llamado de su rango, y una regla de atar cada elemento del dominio a su gama.

Si no especificar todas las tres de estas cosas, se le da una especificación incompleta de la función.

Así que cuando usted dice $$f(x) = {x + 1\over x + 1},$$ usted está omitiendo el dominio deseado. El dominio de la naturaleza es el conjunto de todos los números reales guardar para $-1$. Este es el tácita de dominio utiliza a menudo en la discusión de funciones reales de una variable real.

La constante de la función $x\mapsto 1$ definida en toda la recta real es una extensión de $f$ a toda la línea. Esta es una función diferente, ya que su dominio es mayor que el de $f$.

Answer 5

Si usted mira en funciones a partir de un conjunto-la teoría del punto de vista, no son nada, pero trillizos $f = (E,F,\Gamma)$, $E$ y $F$, siendo el dominio y el codominio, $\Gamma$ ser un subconjunto de $E \times F$ - el gráfico - tal que para todo $x \in E$, hay un único $y \in F$ tales que $(x,y) \en \Gamma$. Nosotros, a continuación, anote $f(x) = y$.

Se dice entonces que dos funciones $(E,F,\Gamma)$ y $(E',F',\Gamma')$ son iguales si $E=E'$, $F=F'$ y $\Gamma=\Gamma'$.

Cuando uno define una función por medio de una expresión simbólica, tales como $f(x) = \frac{x+1}{x+1}$, es sólo una forma abreviada para definir $f= (E,F,\Gamma)$, se supone que

• $E$ es el mayor subconjunto de $\mathbb{R}$ tal que para todo $x \in E$, $\frac{x+1}{x+1}$ se define
• $F$ es el más pequeño subconjunto de $\mathbb{R}$ tal que para todo $x \in E$, $\frac{x+1}{x+1} \in F$
• $\Gamma = \{(x,y) \in E \times F ~|~ y = \frac{x+1}{x+1}\}$

Dado que $\frac{0}{0}$ es indefinido, $f$ no sería definido en $0$, pero ya que esta destinado a ser un atajo, generalmente se extiende la $E$ (y, posteriormente, $F$ y $\Gamma$) a los puntos que $x \in \bar{E}$ - el cierre de la $E$ tales que $f$ tiene un límite de $y$ en $x$. Nosotros, a continuación, anote $f(x)=y$, por lo que formalmente se define una extensión de $f$, que tomamos nota también de $f$, que es no es igual a la primera de $f$, ya que no tienen ni el mismo dominio, ni el mismo gráfico.

Larga historia corta, la función definida por $f(x) = \frac{x+1}{x+1}$ es igual a $1$ y definido en $\mathbb{R}\smallsetminus \{-1\}$ o en $\mathbb{R}$, dependiendo del contexto.