¿Es la suma de las raíces cuadradas de todos los números naturales hasta n un número entero para cualquier valor de n que no sea 1?

Question

Para la suma $\sum_{n=0}^x \sqrt{n}$ ¿existen valores de $x$ donde la suma sea un número entero diferente de 1?

Answer 1

Dudo que haya una demostración elemental de esto, pero el hecho de que esto sea irracional para $x>1$ se sigue del siguiente teorema:

El conjunto de números de la forma $\{\sqrt{n}:n\in \mathbb Z,\,n \text{ libre de cuadrados}\}$ es linealmente independiente sobre $\mathbb Q$.

Uno puede encontrar demostraciones para esto aquí y en el caso especial para los números primos aquí.

Este es esencialmente un corolario inmediato: Supongamos, para contradicción, que $\sum_{n=1}^x\sqrt{n}=q$ era racional. Cada término en la suma se puede escribir de la forma $c_n\sqrt{d_n}$ donde $d_n$ es libre de cuadrados y $n=c_n^2d_n$ y tanto $c_n$ como $d_n$ son enteros. Si reagrupamos los términos para recoger los coeficientes de $\sqrt{d_n}$ obtendremos $$\sum_{\substack{d=1\\d\text{ libre de cuadrados}}}^{x}\left(\sum_{c=1}^{\lfloor\sqrt{x/d}\rfloor}c\right)\sqrt{d}$$ y si restamos $q$ de esto y sacamos el primer término, obtenemos $$\left(-q+\sum_{c=1}^{\lfloor\sqrt{x}\rfloor}c\right)\cdot \sqrt{1}+\sum_{\substack{d=2\\d\text{ libre de cuadrados}}}^{x}\left(\sum_{c=1}^{\lfloor\sqrt{x/d}\rfloor}c\right)\sqrt{d}=0$$ lo cual contradice que el conjunto de raíces cuadradas de números libres de cuadrados sea linealmente independiente sobre $\mathbb Q$. Por lo tanto, la suma $q$ no es racional - y, en particular, no es un entero.

Se debe notar que esto otorga una propiedad más fuerte: Si se suman un montón de raíces cuadradas de números naturales con coeficientes racionales positivos, donde al menos una de las raíces cuadradas es irracional, la suma nunca será racional.