En un espacio métrico se puede hablar de una secuencia de aproximaciones que crecer arbitrariamente precisa en el límite. Uno puede decirlo en términos que en realidad no asumir que hay un límite - es decir, mediante el uso de secuencias de Cauchy. Un espacio métrico no sería completa si uno puede proporcionar una secuencia de aproximaciones creciente arbitrariamente precisa pero no converge a algo. En un sentido, estamos especificando algo que no está realmente allí - es una especie de fantasma, que trasciende el espacio. Existe en el exterior, en la finalización de ese espacio. Uno de los ingeniosamente trucos de matemáticas fue lugar de tratar de describir algo infinito o más allá de la descripción, describir cómo uno llega allí (aunque realmente nunca llega). Identificando el destino con el recorrido, se adquiere la capacidad de hablar de cosas como los números reales, límites de análisis, y aún más exótico de los límites que existen en el álgebra (como, en la categoría de topológica de los anillos, el $p$-ádico números).
Hay diferentes maneras de ir sobre la "especificación" un número real. En general, cualquier secuencia de Cauchy (modulo null secuencias de los convergentes a$0$), pero los tipos de especificaciones que vienen con las reglas también están bien. Uno puede utilizar ampliaciones digitales con respecto a una base elegida - esto es conveniente y práctico, si artificiales. Uno puede utilizar continuó fracción expansiones (buscar esto en google para obtener más información). Uno puede utilizar Dedekind cortes, como un teórico de la herramienta.
En este tipo de esquemas (que son todos métrico basado - si uno quiere usar el álgebra y un mínimo de polinomios para describir los elementos, o hablar de computable/definibles reales etc. entonces las cosas pueden ir de una manera diferente), números racionales requieren sólo una cantidad finita de datos para especificar, mientras que una arbitraria voluntad real, en general, requieren una cantidad infinita de datos. (Considero que la repetición de dígitos de una cantidad finita de datos). Ya que muestra en todas estas métricas de "especificación" de los esquemas, y los reales se definen métricamente por dichas especificaciones (los reales son los únicos arquímedes linealmente ordenado completar el campo y la integridad se refiere a estas cosas), creo que esta respuesta se presenta en el corazón de la razón por $\Bbb R$ es incontable mientras que $\Bbb Q$ no lo es. Para ilustrar con binarios: la elección de una secuencia finita de lanzamientos de una moneda esencialmente codifica un número natural en binario, de los cuales hay countably muchos, pero la elección de una secuencia infinita de volteretas tiene un espacio muestral de $2^{\aleph_0}$ $>\aleph_0$ por Cantor (y de este teorema no es sólo auxiliar para la discusión: para tener una justa apreciación de conjunto de la teoría, tiene que ser absorbido en la intuición de lo que significa ser incontable).
Creo que es mejor pensar de $\Bbb Q$ vs $\Bbb R$ (la primera, contenida en el segundo) en lugar de $\Bbb Q$ vs $\Bbb R\setminus\Bbb Q$; a los efectos de examinar la cardinalidad no hay ninguna razón para particionar $\Bbb R$ a $\Bbb Q$$\Bbb R\setminus\Bbb Q$.
Llegar a los puntos que ha hecho: el hecho de que los racionales son densos en esencia significa que podemos utilizarlos en nuestro especificación de los números reales, pero no llega a tocar en el hecho de que puede tomar un número infinito de ellos para hacer ese trabajo, involucrando a un número infinito de opciones (incluso después de deshacerse de los despidos a través de secuencias nulas), y el número de opciones es lo que en última instancia controla la cardinalidad. Sí, cada racional $x$ está contenida en una cantidad no numerable de intervalos con extremos irracionales - es decir $(x-\epsilon,x+\epsilon)$ por cada irracionales $\epsilon>0$ -, pero esto no significa que hay una cantidad no numerable de números racionales. Si intenta identificar por qué podría sospechar que esta implicación de la celebración en el primer lugar - una posible correspondencia entre los intervalos y puntos de que las fuerzas de $\Bbb Q$ a ser incontable - usted no encontrará ningún sentido de la correspondencia. ¿Por qué empezamos con ese tipo de intuición, en primer lugar, no estoy seguro, pero la intuición debe ser perfeccionado en la luz de los hechos.
