El $L^1$ convergencia de $f(x - a_n) \to f(x)$

Question

Estoy tratando de resolver algo y estoy atascado.

Suponga que tiene una función $$f \in L^1(\mathbf R) $$ y una secuencia de números reales que converge a cero: $$ a_n \rightarrow 0 $$ definir una secuencia de funciones por $$ f_n (x)=f(x-a_n)$$ hace que esta secuencia converja a $f(x)$ en la norma?

Answer 1

Así que lo que estás tratando de hacer es demostrar que

$$\int |f(x) - f_n(x)| \, \text{d}x \to 0.$$

Tenga en cuenta que $|f(x) - f(x - a_n)| \to 0$ en sentido estricto si $f$ es continua con soporte compacto. Además, hay que tener en cuenta que $f$ es uniformemente continua porque tiene soporte compacto (y por tanto podemos concatenar la función cero con una función en un intervalo acotado). Así que, dado $\epsilon > 0$ tenemos $|f(x) - f_n(x)| < \epsilon$ para todos $x$ y $n$ lo suficientemente grande. Esto significa que para $n$ suficientemente grande podemos encontrar un soporte compacto para la función $f - f_n$ por lo que podemos acotar esto mediante una función integrable. Así que podemos aplicar el Teorema de Convergencia Dominada de Lebesgue para obtener el resultado para continuas $f$ con soporte compacto.

Ahora sabemos que las funciones continuas compactamente soportadas son densas en $L^1(\mathbf R)$ . Por lo tanto, dejemos que $f$ ser un general $L^1$ y dejar que la función $\epsilon > 0$ , $g$ sea una función continua con soporte compacto tal que $\|f - g\| < \epsilon$ .

Así, obtenemos $\|f - f_n\|_1 \leq \|f - g\| + \|g - f_n\|$ .

Para ello es necesario demostrar que $\|g - f_n\|$ puede hacerse arbitrariamente pequeño para que sea lo suficientemente grande $n$ . Así que dado $\epsilon > 0$ , dejemos que $g_n(x) = g(x - a_n)$ . Así que,

$$\|g - f_n\| \leq \|g - g_n\| + \|g_n - f_n\|$$

El primer término del lado derecho es $0$ y el segundo puede hacerse arbitrariamente pequeño por la densidad.

Por lo tanto, para resolver este tipo de problemas, primero hay que elegir una clase de funciones que sea densa en el conjunto requerido, donde el problema se hace mucho más fácil.