Condiciones para "monic $\iff$ inyectiva"?

Question

Estoy tratando de entender mejor la relación entre monicity y de inyectividad como propiedades de una de morfismos. Mi pregunta tiene dos partes.

En primer lugar,

¿cuáles son las condiciones necesarias y suficientes en una categoría para cada monic de morfismos a ser inyectiva?

(Supongo que esta no es una pregunta abierta!)

Yo también estoy interesado en el reverso de implicación (es decir, cada inyección es monic). En este caso, la definición estándar de la inyectiva (es decir,$f(x) = f(y) \Rightarrow x = y$) ya implica que cada inyectiva de morfismos es monic, pero esta definición es "pointwise", que no es muy satisfactorio como una categoría de criterio. Por lo tanto, la segunda parte de mi pregunta es

es allí una manera de definir inyectiva que no se hace ninguna referencia a los elementos individuales de conjuntos, pero sin embargo es equivalente a la "norma" definición?

(Mi esperanza es que, desde un punto libre de la definición que voy a ser capaz de llegar a un punto libre, puramente pruebas categóricas de "inyectiva $\Rightarrow$ monic".)

Gracias!

P. S. Esta pregunta fue motivado por algunos comentarios en la página. 32 de Conjuntos en Matemáticas por Lawvere y Rosebrugh (2003), donde se define lo que es un monomorphism es. Básicamente, su definición dice que una de morfismos $i:S \rightarrow A$ es monomórfica iff, para cada par de morfismos $s_1, s_2:T \rightarrow S, (i \circ s_1 = i \circ s_2) \Rightarrow (s_1 = s_2)$, lo que ellos llaman la "cancelación de la propiedad con respecto a su composición en [la de morfismos] derecho". Entonces ellos van a decir que

La diferencia entre monomórficas y inyectiva es que, para el el "mono" de la propiedad, exigimos la cancelación de todas las $T$ [mientras que para el 'inyectiva propiedad, exigimos la cancelación sólo a la hora de componer con morfismos con el dominio $T = 1$]. Esto no importa en el caso de resumen establece, en caso de anulación con el general de la $T$ o $T > = 1$, significa la misma cosa ... . *Que el "mono" implica inyectiva * *tautologous debido a una declaración general implica siempre alguna de sus especiales * de los casos. A la inversa declaración es $not$ tautologous; depende de la existencia de suficiente muchos elementos. (énfasis añadido)

La frase que he subrayado anteriormente que me desconcierta, porque no sé de ejemplos donde un monic de morfismos es no inyectiva. La siguiente declaración es también un poco desconcertante, porque la implicación de que no consideran que tautologous ("inyectiva $\Rightarrow$ monic") es la que se ve totalmente tautologous a mí. Y también estoy perplejo por lo que se entiende por $T = 1$. ¿Que significa "$T =$ la categoría del terminal de objeto"? O "$T =$ la categoría del separador objeto?" O "$T =$ a/el objeto singleton"? En $Sets$ todas estas descripciones se aplican a 1, pero no me queda claro cual de ellos es la base para los autores de los comentarios. Además, significa que los autores son o (1) lo que implica que el término inyectiva pueden ser debidamente aplicados sólo a los morfismos en las categorías que tienen un "1" al objeto (con 1 = terminal/separador/singleton, dependiendo de lo que los autores quisieron decir), o bien (2) lo que implica que cada concretas categoría tiene un objeto de este tipo.

Answer 1

En primer lugar, los comentarios (y el libro en general) son en realidad acerca de toposes, no categorías generales, y debe ser interpretado a la luz. (Esto es algo que sólo he dado cuenta recientemente, a pesar de haber leído el libro hace un par de años.) Por lo tanto, uno debe mirar a las categorías de poleas para hacer sentido de las observaciones.

Y también estoy perplejo por lo que se entiende por T=1. ¿Que significan "T= la categoría del terminal de objeto"? O "T= la categoría del separador objeto?" O "T= a/el objeto singleton"? En los Conjuntos de todas estas descripciones se aplican a 1, pero no me queda claro cual de ellos es la base para los autores de los comentarios.

$1$ siempre significa que el terminal objeto de este libro, si recuerdo correctamente.

La noción de "singleton" es una serie centrada en el. Es posible generalizar esta idea toposes, pero esto no es lo que se quiere decir aquí. Toposes en general, no tienen un separador de objeto; aquellos que están separados por $1$ ($1$ no isomorfo a $0$) son llamados así-señaló.

Además, significa que los autores son o (1) lo que implica que el término inyectiva pueden ser debidamente aplicados sólo a los morfismos en las categorías que tienen un "1" al objeto (con 1 = terminal/separador/singleton, dependiendo de lo que los autores quisieron decir), o bien (2) lo que implica que cada concretas categoría tiene un objeto de este tipo.

Como ya se ha mencionado, no cada categoría tiene un separador. Tampoco cada categoría tiene un terminal de objeto. Uno puede estudiar la definición implícita en cualquier categoría con un terminal de objeto, pero no es necesariamente útil. Por ejemplo, en las categorías donde el terminal objeto es isomorfo a la inicial del objeto, por ejemplo, $\mathbf{Grp}$ o $\mathbf{Ab}$, siempre va a ser exactamente una flecha $1 \to X$ para cualquier objeto $X$. Es más rentable cuando la categoría es un topos. Tradicional, en el caso de las categorías de poleas, una flecha $1 \to X$ se llama una sección global, por lo que el comentario es simplemente decir (para este caso) de que " una gavilla pueden no tener suficiente global de secciones, lo cual no es sorprendente en absoluto.

En efecto, considerar la categoría de $\mathbf{Set}^2$ consiste de pares de conjuntos y los pares de mapas. La terminal de objeto en esta categoría es un par de singleton conjuntos. Considere la posibilidad de que el par $(\emptyset, \{ * \})$. No hay ninguna flecha $(\{ * \}, \{ * \}) \to (\emptyset, \{ * \})$ porque no hay ningún mapa $\{ * \} \to \emptyset$. Pero, claramente, $(\emptyset, \{ * \})$ no está "vacío" (tanto en el sentido de intuición y en el sentido de no ser un objeto inicial). El libro podría llamar a esto un ejemplo de no tener suficientes elementos globales'. La forma de rectificar esta es considerar " generalizada de elementos, que en el lenguaje de las poleas es similar a la noción de una sección local. Pero tenga en cuenta que esta categoría tiene una separación de conjunto, es decir, el par de pares de $(\emptyset, \{ * \})$$(\{ * \}, \emptyset)$. Es tentador tomar el subproducto de estos dos a intentar hacer una sola separación de objeto, pero ya hemos demostrado que no funciona!

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Ahora, para responder a su primera pregunta. Tenga en cuenta que monicity puede ser definido como un límite: una flecha $f : A \to B$ es monic si y sólo si el pullback de $A \xrightarrow{f} B \xleftarrow{f} A$ es el mapa de identidad. Voy a hablar sólo en categorías concretas de aquí y de 'inyectiva' está reservado para los mapas de conjuntos.

Condiciones necesarias. La anterior caracterización es útil porque podemos ahora entender la preservación de monics en términos de la preservación de los límites. Por lo tanto, si el conjunto subyacente functor de una categoría preserva límites finitos (o incluso sólo pullbacks), en el mapa de un monic flecha debe ser inyectiva. Esto sucede, por ejemplo, cuando el conjunto subyacente functor ha dejado adjoint (el objeto functor'). Esto significa que, para las categorías de donde es razonable noción de "libre objeto generado por un elemento', en el mapa de un monomorphism debe ser inyectiva.

Las condiciones suficientes. Del mismo modo, si el conjunto subyacente functor refleja los límites, entonces cada flecha que tiene una inyectiva subyacente mapa ya debe estar monic. Esto es típico en las categorías de objetos algebraicos y es cierto en particular para $\mathbf{Grp}$, $\mathbf{Ring}$, $\mathbf{Vect}$. Nota, sin embargo, que el conjunto subyacente functor para $\mathbf{Top}$ no refleja (o crear) los límites, así que uno tiene que buscar otras 'razones' por qué un monic flecha en esta categoría es la misma cosa como un inyectiva mapa continuo. De hecho, cuando el conjunto subyacente functor es fiel (es decir, inyectiva en las flechas), si el subyacente mapa de una flecha es inyectiva, luego en la flecha debe ser de monic. La forma más sencilla de ver esto es utilizar el hecho de que el functor $\mathrm{Hom}(C, -) : \mathbf{C} \to \mathbf{Set}$ conserva monics. (Ejercicio!)

Answer 2

En la página 144 de La alegría de los gatos que me encuentro:

8.29 PROPOSICIÓN Si construir Una tiene un objeto más de un singleton, el monomorphisms en Un son, precisamente, los morfismos que se inyectiva funciones.

Answer 3

Se puede afirmar que los morfismos en una categoría monic iff son inyectiva porque morfismos no son funciones, en general, son cosas que satisfaga a la categoría de axiomas, y no se necesitan funciones. Por ejemplo, una categoría en la que su afirmación no tiene sentido es en la categoría de hecho a partir de una gráfica, con los objetos de los vértices y morfismos de ser bordes (google que para una definición completa de la forma en que realmente funciona, estoy seguro de que usted puede si usted comenzó a leer un poco de la categoría de la teoría).

Hay algo interesante acerca de su afirmación, aunque : http://en.wikipedia.org/wiki/Monomorphism

Hay una manera de decir que un monic de morfismos es "inyectiva" en cierta manera, si los morfismos son en realidad funciones. En el enlace, hay una frase que menciona que un mapa de $f : X \to Y$ es monic iff la inducida por el mapa de $f_*$ definido por $f_* : \mathrm{Hom}(Z,X) \to \mathrm{Hom}(Z,Y)$ $f_*(h) = f \circ h$ es inyectiva para todos los objetos de $Z$.

Para probar esto (la prueba no está en el enlace), tenga en cuenta que si $f$ es en realidad una función inyectiva y los objetos son conjuntos (grupos, espacios... lo que sea), si un mapa de $h_1$ (que se asigna a $X$, y, a continuación, en $Y$$f$) es lo mismo que si $h_2$ mapas en $X$ $f$ a $Y$, esto significa que para mostrar $f$ es un monic de morfismos, quieres demostrar que $$ f_* \circ h_1 = f_* \circ h_2 \quad \Rightarrow \quad h_1 = h_2. $$ Por lo tanto, vemos que $$ f(h_1(z)) = f(h_2(z)) \quad \forall z \Z \quad \Rightarrow \quad h_1(x) = h_2(x) \quad \forall z \Z \quad \Rightarrow \quad h_1 = h_2 $$ lo que significa que $f$ es un monic de morfismos. Por el contrario, un monic de morfismos es tal que si en particular, $Z = X$, e $h_1$ es una de morfismos que los mapas de todo $x_1$, $h_2$ es una de morfismos que los mapas de todo a $x_2$, se puede ver por monicity que $$ f_*(h_1) = f_*(h_2) \quad \Longleftrightarrow \quad f(x_1) = f(x_2) $$ implica que $h_1 = h_2$, por lo tanto $x_1 = x_2$.

Yo no soy muy experimentado con la categoría de la teoría para ser honesto, pero creo que me iluminó lo suficiente. Siéntase libre de comentar.

Espero que ayude,