Preguntas sobre el esquema de morfismos

Question

Tengo algunas preguntas sobre el esquema de morfismos. Te pido perdón por la publicación de los mismos en un hilo ya que son más probable es que no vale la pena ser distribuido en varios hilos.

Deje $X=Spec R$ ser un noetherian esquema.

1. Para una máxima ideal $m$ $R$ uno tiene un morfismos $Spec (k(m))\to X$ inducida por el anillo de homomorphism $R\to R_m\to R_m/R_mm=R/m$ que es un cerrado de inmersión. Se asigna el único punto de $Spec (k(m))$$m$. Si uno toma un alojamiento ideal $p$ en lugar de un ideal maximal, hay un esquema de morfismos inducida por $R\to R_p\to R_p/R_p p=Quot(R/p)$. Es la imagen de el único punto de $(0)$ $Spec (Quot(R/p))$ el punto genérico de la irreductible subscheme de $X$ correspoinding a $p$?

2. Para un alojamiento ideal $p$ uno tiene, como en el anterior, el esquema de morfismos $$ La especificación("(R/p))\xrightarrow{g_p} Spec(R_p)\xrightarrow{f_p} X $$ y si $p$ es máxima $Spec(Quot(R/p))$ puede ser considerado como un punto. ¿Qué es $Spec(R_p)$ geométricamente? Es $f_p$ o $g_p$ respectivamente abierto/cerrado de inmersión? ¿Cómo puede la imagen de $f_p$ o $g_p$, respectivamente, de ser pensado?

3. Si uno tiene un morfismos $f:Y\to X$, el cambio de base de a $f$ $Spec (k(m))\to X$ es la fibra de $f$ en el punto de $m$. Es el cambio de base de a $f$ $Spec(R_m)\to X$ una especie de engrosamiento de la fibra'? En ¿qué tan lejos puedo reconstruir los morfismos $f$ si sé lo que hace en los espacios topológicos y si conozco todas las fibras o 'engrosamiento de las fibras', respectivamente?

Answer 1

1. Sí, porque esta imagen es $p$, que es de hecho el punto genérico de $V(p)$, el subscheme de $X$ correspondiente a $p$.

2. El esquema afín $Spec (R_p) $ es exactamente la intersección de todos los barrios de $p$$X$. No es ni cerrado ni abierto en general. Es una encarnación del germen del esquema de $X$$p$. Por lo $f_p$ no está ni cerrado ni abierto inmersión, pero algún tipo de generalizada de inmersión.

Los morfismos $g_p$ es el cierre de la inmersión del punto de cierre $pR_p$ de el anillo local $R_p$ en el espectro de $Spec(R_p)$ de dicho anillo local.

3. Sí, tu intuición es excelente:
para cada $p\in X=Spec(R)$ el esquema de $Y_p=f^{-1} (Spec(R_p)=Spec(R_p)\times_X Y$ es de hecho un engrosamiento de la fibra,$Y(p)=f^{-1}(p)=Spec(\kappa(p))\times_X Y$$p$ , que tiene la siguiente satisfactoria de la propiedad.
Dado $y\in Y$$p$, el anillo local $\mathcal O_{Y_p,y}$ de este engrosamiento de la fibra es exactamente el mismo que el original anillo local $\mathcal O_{Y,y}$ , en contraposición a el anillo local de la fibra,$Y(p)$$y$$\mathcal O_{Y(p),y}=\mathcal O_{Y,y}/pO_{Y,y}$ . En otras palabras, el engrosamiento de la fibra se comporta como si fuera el inverso de la imagen de algunos de vecindad de $p$, aunque es en realidad menor que cualquier inversa de la imagen.
Por lo tanto, de hecho, se puede reconstruir la morfismos si usted sabe que todos estos engrosamientos (pero cuidado, no he escrito los detalles).

Sobre todo, debo felicitarte por la lucidez y la pertinencia de sus preguntas: son notables para un geometrystudent !

Edit: Ah, ha, he encontrado una referencia en el Texto Sagrado, por el hecho de que una de morfismos de hecho está determinado por sus restricciones a la engrosamientos: EGA, I, Proposición 6.5.1.(i)