No no constante coprime polinomios $a(t)$, $b(t)$, $c(t) \in \mathbb{C}[t]$ donde $a(t)^3 + b(t)^3 = c(t)^3$.

Question

Vea aquí.

Mi pregunta es, ¿cuáles son algunas de las diferentes maneras en las que podemos ver que no existen no constante, relativamente primos, los polinomios de $a(t)$, $b(t)$, y $c(t) \in \mathbb{C}[t]$ tal que$$a(t)^3 + b(t)^3 = c(t)^3?$$In particular, could anyone outline/supply a proof the "better motivated proof where you see that $\mathbb{CP}^1$ can't map holomorphically to a genus $1$ la curva de" mencionado por David Speyer en el enlace? Gracias.

Answer 1

Le dan un totalmente de primaria a prueba de simplemente trabajar en el ring $\mathbb{C}[t]$ y el uso que se trata de un disco flash usb. Supongo que hay algunas soluciones de$$a(t)^3 + b(t)^3 = c(t)^3$$in $\mathbb{C}[t]$. Choose a solution $(a(t), b(t) c(t))$ such that the maximum $m > 0$ of the degrees of $$, $b$, $c$ is minimal possible among all solutions. Clearly, this choice ensures that $a(t)$, $b(t)$, $c(t)$ are coprime. Then we have$$a(t)^3 = c(t)^3 - b(t)^3 = (c(t) - b(t))(c(t) - \omega b(t)) (c(t) - \omega^2 b(t)),$$where $\omega$ is a third primitive root of unity. Now, we look at the factors $c(t) - b(t)$, $c(t) - \omega b(t)$. Suppose that they have a common factor $p(t)$. Considering their sum and difference, we conclude that $c(t)$ and $b(t)$ have a common factor too. Moreover, $p(t)$ is a factor of $a(t)$. Thus, $$, $b$, $c$ are not relatively prime, which is a contradiction. Repeating the same game with other pairs of factors, we see that all three factors $c(t) - b(t)$, $c(t) - \omega b(t)$, $c(t) - \omega^2 b(t)$ are pairwise coprime. Therefore,$$c(t) - b(t) = d_1(t)^3,\text{ }c(t) - \omega b(t) = d_2(t)^3,\text{ }c(t) - \omega^2b(t) = d_3(t)^3,\text{ where }d_1,\,d_2,\,d_3 \in \mathbb{C}[t].$$Note that$$\omega^2 + \omega + 1 = 0.$$Multiplying the second equation by $\omega$ and the third equation by $\omega^2$ and adding all three, we arrive at $$d_1(t)^3 + \omega d_2(t)^3 + \omega^2d_3(t)^3 = 0.$$Choosing $\eta_1$ and $\eta_2$ as any third roots of $-\omega$ and $-\omega^2$, respectively, and letting$$a_1 = d_1^3,\text{ }b_1 = \eta_1d_2^3,\text{ }c_1 = \eta_2d_2^3,$$we get$$a_1^3 = b_1^3 + c_1^3.$$By construction, at least one of $a_1$, $b_1$, $c_1$ is a nonconstant polynomial, and the maximum of their degrees is smaller than that of $a$, $b$, $c$. This is a contradiction to the choice of $a$, $b$, $c$.

En particular, podría alguien esquema de suministro de una prueba de la "mejor motivados prueba en la que ves a $\mathbb{CP}^1$ no pueden mapa holomorphically a un género $1$ curva" que menciona David Speyer en el enlace? Gracias.

Ver mi respuesta aquí.

Answer 2

La clave lema para la prueba del último teorema de Fermat para polinomios generalmente es el llamado Mason-Stothers Teorema:

Teorema: Vamos a $K$ ser un campo y $A,B,C$ cero polinomios en $K[T]$$A+B+C = 0$$gcd(A,B,C) = 1$. Si ${\rm deg}\, A ≥ deg \, rad \, ABC$,$A′ = B′ = C′ = 0$.

Aquí $rad \, f$ es el radical de $f$, es decir, si $f=cp_1^{e_1}\cdots f_n^{e_n}$ con distintos factores primos $p_i$,$rad \, f=p_1\cdots p_n$. Nota la analogía con el abc de la conjetura de los números enteros.

Cómo esto implica Fermat para polinomios se explica muy bien en Lemmermayer de notas. Esto es elemental, y no creo, que el cúbicos caso es mucho más fácil que en el caso general, para $n\ge 3$.

Edit: ahora que el OP ha editado, acerca de David Speyer enlace. Para esto ver aquí.
Último Teorema de Fermat para polinomios puede ser demostrado de muchas maneras diferentes; los Mangos, en su libro Resueltos y sin resolver los Problemas de Teoría de números, se describe una prueba dada por Chebyshev mediante la integración.