Visualización de grupos cociente: $\mathbb{R/Q}$

Question

Me preguntaba esto. Sé que es posible visualizar el grupo cociente $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ como un círculo, y si los consideramos como "grupos topológicos", entonces este grupo (no topológico) cociente es topológicamente equivalente a un círculo.

Pero entonces, ¿qué $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ ¿Qué aspecto tiene?

Answer 1

Entonces, dices que el grupo (no topológico) cociente de $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ es topológicamente equivalente (es decir, homeomorfo) al círculo. Sin embargo, esto no tiene sentido a menos que se tenga una topología sobre $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ ¡! Más la cuestión es que un grupo topológico como $\mathbb{R}$ tiene tanto una estructura topológica como una estructura de grupo. Ahora, cuando se forma el grupo cociente $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ se le puede dar un espacio topológico de forma natural, en particular, a través de la topología del cociente. Obsérvese que al hacer esto obtenemos de nuevo un grupo topológico (es decir, las operaciones del grupo cociente son continuas con respecto a la topología cociente). Además, el cociente $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ (como espacio topológico) es homeomorfo al círculo.

Ahora, en el caso de su pregunta, la topología cociente sobre $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ es la topología trivial. Esto no es difícil de demostrar, ya que las preimágenes de conjuntos abiertos deben ser abiertas y saturadas. Así, si tal preimagen es no vacía, contiene un intervalo abierto, y puesto que está saturado, debe contener todos los números reales que difieren en un racional de un punto de este intervalo. Entonces es fácil ver que este conjunto debe ser todo de $\mathbb{R}$ . Por tanto, los únicos conjuntos abiertos saturados de $\mathbb{R}$ son $\emptyset$ y $\mathbb{R}$ mismo. Por tanto, la topología del cociente es trivial. Además, es trivial que cualquier mapa hacia un espacio con topología trivial sea continuo, por lo que las operaciones del grupo cociente sobre $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ vuelven a ser continuas. Así que de nuevo tenemos un grupo topológico, aunque no muy interesante porque no es muy interesante como espacio topológico. En cuanto a lo que este espacio "parece", es similar a un espacio de un punto por la razón Ricky mencionado en los comentarios. Sin embargo, no es realmente fácil de visualizar ya que no es homeomorfo a ningún subespacio de $\mathbb{R}^n$ equipado con la topología del subespacio (porque no es Hausdorff, o por cualquiera de otras razones).

Edito: Debería haber añadido que siempre que tengas un grupo topológico y formes el cociente de la manera que hicimos arriba el resultado es siempre un grupo topológico. Sin embargo, a menos que el subgrupo normal original sea cerrado, el grupo cociente resultante ni siquiera será $T_0$ como espacio topológico. Por tanto, sólo es realmente interesante formar el cociente cuando el conjunto por el que se hace el cociente es cerrado. Esto explica por qué $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ es interesante como grupo topológico, pero $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ no lo es.

Answer 2

Si ignoras la topología, es más o menos lo mismo que $\mathbf R$ .

Observe que $\mathbf R$ es un $\mathfrak c$ -sobre $\mathbf Q$ de los cuales $\bf Q$ es un subespacio unidimensional. Tomando el cociente $\bf R/\bf Q$ es en realidad tomar el cociente de a $\mathfrak c$ -por un subespacio unidimensional, que es de nuevo un espacio vectorial, y sigue siendo $\mathfrak c$ -(porque $1<\mathfrak c$ ;) ), por lo que es isomorfo a $\bf R$ como espacio vectorial sobre $\bf Q$ y, en particular, como grupo.

Answer 3

En realmente depende de lo que se entienda por visualizar.

El grupo $\mathbb Z$ es discreto, por lo que entre dos puntos sucesivos hay una parte que se parece un poco a $\mathbb R$ . El resultado, de ser así, está algo cerca de ser $\mathbb R$ .

Por otro lado, $\mathbb Q$ es un denso subgrupo de $\mathbb R$ . Esto significa que se vuelve mucho más desordenado. Y no sin una buena razón: normalmente podemos imaginar cosas que tienen forma, cosas que se pueden medir.

Cualquier conjunto de representantes de $\mathbb R/\mathbb Q$ no puede medirse. Esto nos dice que es prácticamente imposible visualizar este cociente en el mismo sentido que imaginaríamos un círculo, una pelota, o incluso si intentamos realmente duro e imaginamos un espacio de cuatro dimensiones.

Además, utilizando el axioma de elección podemos crear dicho conjunto de representantes; sin embargo, sin el axioma de elección este cociente podría ni siquiera estar ordenado linealmente. Es decir, forma un conjunto que no puede ordenarse linealmente. Por el contrario, $\mathbb R/\mathbb Z$ es un círculo, o un intervalo semiabierto (donde identificamos los puntos extremos), incluso sin el axioma de elección.

Esto le dice aún más: usted necesita el axioma de elección para imponer un orden en este conjunto. Sólo un orden lineal, ni siquiera un bien-orden. Por lo tanto imaginar esto como un conjunto linealmente ordenado es aún más difícil de lo que podemos creer en un principio.

Mi sugerencia es no para intentar visualizarlo. Acéptalo como un objeto formal que puedes entender hasta cierto punto, pero no ver. Siga adelante con esto. Finalmente, tras toparse con objetos infinitos ( $\ell^2$ por ejemplo) y logrando visualizarlos vuelve a éste, entonces puede que lo consigas.

Answer 4

El grupo cociente R/Q es similar a R/Z en algunos aspectos, pero es bastante diferente y, creo, imposible de visualizar de la forma en que lo es R/Z. En primer lugar, si p es un número racional, su clase de equivalencia (es decir, el coset generado por p) en R/Q, denominado [p], es igual a [0]. Es decir, todos los racionales se reducen al único coset Q. Ahora bien, si r es un número irracional, podemos escribirlo como r=n+s, donde s es un número irracional en el intervalo (0,1) y n es un número entero. Eso significa que r-s=es un número racional, lo que a su vez significa que r y s están en la misma clase de equivalencia, es decir, [r] = [s]. Eso significa que los elementos de R/Q se parecen a {0} U {un conjunto de irracionales en el intervalo (0,1)}. Pero, ¿qué conjunto de irracionales exactamente? No todos; por ejemplo, tomemos la parte decimal de PI (=0,14159...) y añadámosle 0,5 para obtener 0,64159.... Ambos son números irracionales y sin embargo su diferencia es ½, por lo que generan el mismo coset, es decir, están colapsados al mismo elemento de R/Q. Por otro lado, se sabe que sqrt(2), sqrt(3) y sqrt(2)-sqrt(3) son todos números irracionales. Eso significa que los cosets [sqrt(2)] y [sqrt(3)] son elementos distintos de R/Q. Así, algunos irracionales colapsan al mismo elemento en R/Q pero no todos lo hacen. Así que la pregunta es: ¿hay alguna manera de elegir o describir un conjunto de números irracionales que representen los distintos cosets distintos de cero de R/Q? El axioma de elección implica que sí, que se puede elegir un conjunto de números irracionales en el intervalo (0,1) que formen un conjunto completo de cosets distintos para R/Q. El problema, sin embargo, es que el axioma de elección no da ninguna receta para cómo elegir o describir tal conjunto de representantes. Lo que podemos decir es que dos elementos distintos de cero de R/Q, llamémoslos [r] y [s], son equivalentes si y sólo si sus representaciones decimales difieren sólo en un número finito de dígitos. Por tanto, un coset distinto de cero consiste en todos los números irracionales en (0,1) que difieren entre sí sólo en un número finito de dígitos. Parece que tiene que haber una forma de elegir metódicamente un representante "canónico" de cada coset. Un candidato probable podría ser elegir el miembro más pequeño de cada coset, pero por supuesto eso falla porque no hay ningún miembro más pequeño en cada coset distinto de cero; lo mismo para el más grande. Lo ideal sería una función de elección f:R/Q -> (0,1) tal que para dos cosets cualesquiera C y D, f(C+D) = f( C)+f(D) mod(0,1). Que yo sepa, no se ha descrito ninguna función de elección de este tipo y, de hecho, no sé si es posible definir una función de este tipo en el lenguaje ZF estándar. Nótese que el AC no implica que exista una función como f. Sólo dice que existe una función de elección, pero no dice nada sobre cómo se comportará aritméticamente como se ha descrito anteriormente.

(*)Nota: La afirmación anterior de que dos cosets [r] y [s] son iguales si r y s difieren en un número finito de dígitos es casi correcta, pero ignora la posibilidad de que r-s sea un decimal repetido, como 1/9. Si nos permitimos utilizar la simbología decimal repetitiva de una barra sobre el segmento repetitivo de decimales, entonces la afirmación original sigue siendo cierta.