La intuición para étale morfismos

Question

Actualmente trabaja en superficies algebraicas sobre los números complejos. Hice un curso de esquemas, pero en el momento en que sólo el trabajo en el idioma de variedades.

Ahora me encuentro con el término "étale de morfismos" cada ahora y entonces (en el libro de Beauville). Sé Hartshorne la definición de una suave morfismos de la relación de dimensión cero, y en wikipedia se afirma que un montón de otros equivalentes. Puedo trabajar con esto, así que no hay ningún problema. Sin embargo, algo más de la intuición sobre el concepto también sería agradable.

Así que, básicamente, si usted ha trabajado con étale morfismos, podría explicar, por lo que su intuición personal para este tipo de cosas, en el caso de variedades? Si en su respuesta también podría mencionar lisa y plana morfismos, que sería muy apreciada.

Gracias de antemano! Joachim

Answer 1

En lugar de responder a su pregunta con los resultados generales pueden obtenerse fácilmente a partir de la literatura, en línea o tradicional, te voy a dar un par de morfismos.
Decidir si son étale puede contribuir al desarrollo de su intuición.
(Por supuesto, estaré encantado de ayudar a usted o alguien más si tenía cualquier problema con estos morfismos)

a) $\mathbb^1_\mathbb C\a \operatorname {Spec}(\mathbb C[X,Y]/(Y^2-X^3)): t\mapsto (t^2,t^3)$
b) $\mathbb^1_\mathbb C\a \operatorname {Spec}(\mathbb C[X,Y]/(Y^2-X^2-X^3)): t\mapsto (t^2-1,t^3-t)$
c) $\mathbb^2_\mathbb C\to \mathbb^2_\mathbb C: (x,y)\mapsto (x,xy)$
d) $\operatorname {Spec}\mathbb C[T]\a \operatorname {Spec}\mathbb C[T^2,T^3]$
e) $\operatorname {Spec}\mathbb Q[T]/(T^2-4)\a \operatorname {Spec}\mathbb Q$
f) $\operatorname {Spec}\mathbb Q[T]/(T^2+4)\a \operatorname {Spec}\mathbb Q$
g) $\operatorname {Spec}\mathbb Q[T]/(T^2)\a \operatorname {Spec}\mathbb Q$
h) $\operatorname {Spec}\mathbb F_9\a \operatorname {Spec}\mathbb F_3$

Editar (un día después) : Dos teoremas útiles y cómo resolver la cuestión de étaleness de la anterior morfismos

Teorema 1 Dado un campo $k$ y $k$-álgebra $$, los morfismos $\operatorname {Spec}(A)\a \operatorname {Spec}(k) $ es étale iff $A$ es isomorfo como $k$-álgebra a un número finito de producto de $A\cong K_1\...\times K_n$ finito separables campo de las extensiones de $K_i/k$.
Comentario En el étale caso, $Un$ debe ser reducida ( es decir, $\operatorname {Nulo}(A)=0$ )
Ejemplo Cada finita de Galois de la extensión $K/k$ da lugar a una étale de morfismos $\operatorname {Spec}(K)\a \operatorname {Spec}(k) $. Este es el núcleo de Grothendieck del famoso geometrización de la teoría de Galois
Ilustración de Los morfismos e), f), h) son étale pero g) no es porque $\operatorname {Spec}\mathbb Q[T]/(T^2)$ no es reducido.

Teorema 2 Una de morfismos de esquemas de $f:X\to de$ Y es étale iff es plana y unramified.
Ilustración de Los morfismos a) , b), c) y d) no son étale porque ellos no son planos
En aras de la exhaustividad permítanme mencionar que a), c) y d) son ramificados, pero que b) es unramified.
Permítanme mencionar también que a) y d) son dos presentaciones diferentes de la misma morfismos.

Answer 2

Para cuatro de Georges ejemplos que puedo dar un general de la pista. Si $X\a Spec \ k$ es étale donde $k$ es un campo, entonces $X$ debe ser sólo un discontinuo de la unión $\coprod Spec \ L_i$ donde cada $L_i$ es finito separables de campo de extensión de $k$.

Demostrando este hecho es un buen ejercicio y va de nuevo a la analogía de las personas que han estado haciendo. Un "cubrir el espacio" de un punto sólo debe ser topológicamente un conjunto discreto de puntos, pero esta es la geometría algebraica por lo que no debería ser algebraica de la información. La algebraica de la información es que el campo de las extensiones de todos separables. Esto tiene que ver con el hecho de que $X$ es suave implica es "geométricamente reducido" y, por tanto, se ve que no puede recoger nilpotents cuando cambio de base.

Ahora debería ser bastante fácil de hacer (e)-(h). Por desgracia, todos los campos de la base de que hay perfecto, así que no tenemos rara complicación innecesaria. Voy a tirar en

i) $\displaystyle Spec \left(\frac{\mathbb{F}_p(t)[x]}{(x^p-t)}\right)\a Spec \ \mathbb{F}_p(t)$

Answer 3

Para elaborar Gunnar comentario de: cubriendo los espacios de proporcionar una buena intuición, al menos en característica cero. En característica positiva que tiene para mantener la Frobenius en mente en todo momento. Planitud expresa el hecho de que todas las fibras de un conectadas con tener la misma cardinalidad. La suavidad significa que etale morfismos son surjections, por lo tanto isomorphisms (esta es la relación de dimensión cero parte), en la tangente de los espacios, por lo que en el complejo de la topología de ellos son locales homeomorphisms por el teorema de la función inversa.