Teoremas De Punto Fijo

Question

Teorema 1. Deje $B=\{x\in \mathbb R^n :∥x∥≤1\}$ ser la bola unidad cerrada en $\mathbb R^n$ . Cualquier función continua $f:B\rightarrow B$ tiene un punto fijo.

Teorema 2. Deje $X$ ser finito dimensionales normativa espacio vectorial, y deje $K\subset X$ ser no vacío, compacto y convexo conjunto. Entonces, dado cualquier asignación continua $f:K\rightarrow K$ existe $x\in K$ tal que $f(x)=x$.

Teorema 3. Deje $X$ ser una normativa espacio vectorial, y deje $K\subset X$ ser no vacío, compacto y convexo conjunto. Entonces, dado cualquier asignación continua $f:K\rightarrow K$ existe $x\in K$ tal que $f(x)=x$.

Teorema 4. Deje $X$ ser una normativa espacio vectorial, y deje $K\subset X$ ser no vacío, cerrado y acotado conjunto. Entonces, dado cualquier compacto de asignación de $f:K\rightarrow K$ existe $x\in K$ tal que $f(x)=x$.

Para algunos autores el Teorema 1 es Brouwer del punto fijo teorema. Para otros Brouwer del punto fijo es el teorema Teorema 2. En realidad no hay ninguna diferencia, porque todos no vacío, compacto y convexo conjunto en un número finito de dimensiones normativa espacio vectorial es homeomórficos a la bola unidad cerrada.

Mi problema es con los teoremas 3 y 4. Para algunos autores Teorema 3 es Schauder del punto fijo teorema, para otros Schauder del punto fijo es el teorema Teorema de los 4.

Están Teorema 3 y el Teorema 4 son equivalentes? Si no, son Teoremas 1 y 2 casos especiales del Teorema 4?

Answer 1

Su declaración del Teorema 4 es la falta de una suposición sobre la $K$, tal como convexas, o al menos homeomórficos a un conjunto (convexo, cerrado, acotado). Sin este supuesto, la rotación de un círculo da un contraejemplo. También, creo que en el Teorema 4 desea que la normativa espacio para ser completa, es decir, un espacio de Banach.

Teorema 3 es la contenida en el Teorema 4, porque en un conjunto compacto cada mapa continuo es compacto. Teorema 4 no se puede obtener fácilmente a partir de Teorema 3 (creo) porque si se trató simplemente reemplace $K$ $\overline{f(K)}$ (que es compacto), no podemos aplicar el Teorema 3, debido a que $\overline{f(K)}$ no es conocido por ser convexo.

3 y 4 se han señalado y demostrado por Schauder en su 1930 papel Der Fixpunktsatz en Funktionalraümen, que se encuentra en acceso abierto. Aquí está Teorema 3:

Satz I. Morir stetige Funktionaloperation $F(x)$ bilde morir konvexe, abgeschlossene und kompakte Menge $H$ auf sich selbst ab. Dann ist ein Fixpunkt $x_0$, vorhanden, d.h. es gilt $F(x_0)=x_0$.

Y este es el Teorema 4 (ligeramente menos general versión: la imagen de $F$ es asumido compacto en lugar de relativamente compacto; posiblemente debido a que este último concepto no estaba en uso).

Satz II. En einem "B"-Raume sei eine konvexe und abgeschlossene Menge $H$ gegeben. Morir stetige Funktionaloperation $F(x)$ bilde $H$ auf sich selbst ab. Ferner sei morir Menge $F(H)\subset H$ kompakt. Dann ist ein Fixpunkt vorhanden.

("B"-Raume es lo que ahora se llama un espacio de Banach.) Así, es correcto llamar a ambos Teorema 3 y el Teorema 4 "Schauder del punto fijo teorema".

Y sí, los Teoremas 1 y 2 siga por la especialización del Teorema 3 o 4 de dimensiones finitas.