Bueno, me fue amablemente agradeció a la página 31 por lo que debe ser justo para mí para tratar de ofrecer una respuesta, sin embargo imperfecto:
La construcción de la Lagrangiana
Siento que el Lagrangiano en los componentes está claramente descrito en el apéndice a, especialmente en la ecuación (A. 4), pero el hecho de que la estructura de los términos parece laborioso no es una ilusión; es bastante complicada de cálculo. Su teoría es una de Chern-Simons teoría de manera que tiene el medidor de campo con la costumbre de Chern-Simons de Lagrange plazo que ha de incluirse en el total de Lagrange. Todo lo demás son términos extra para el asunto de los campos.
Hay $N_f$ "generaciones" de la materia campos. El asunto de los campos de incluir escalares $q$ y fermiones $\psi$: estas son las partes de un supermultiplet bajo el ${\mathcal N}=2$ subalgebra de la supersimetría, que es equivalente a cuatro reales sobrealimenta, como el mínimo de ${\mathcal N}=1$ en cuatro dimensiones.
La sobrecarga en 3D transformación de la 2-componente real spinors, no quiral aquí, así que si usted tiene ${\mathcal N}=n$ SUSY en 3D, el R-simetría es inevitablemente $SO(n)$ en el nivel de álgebra de la Mentira. Para ${\mathcal N}=3$, por lo tanto, obtener $SO(3)$ R-simetría que es mejor escrito como $SU(2)$. Así que todos los sectores de la realidad tiene que llevar a $a,b=1,2$ los índices de esta $SU(2)$ R-simetría; la sobrecarga construido principalmente como bilineal objetos de estos campos, por lo tanto se transforman como un triplete de esta $SU(2)=SO(3)$, como es requerido por nuestro triplemente extendido SUSY.
El fermionic asunto de los campos también llevar un spinor índice $\alpha=1,2$ por razones obvias: fermiones son el espacio-tiempo spinors.
El resto de índice llevado por escalares $q$ así como fermiones $\psi$ es la mayúscula índice $A,B=1,\dots 2N_f$ etiquetado de los fundamentales de la representación de $USp(2N_f)=U(N_f,{\mathbb H})$. Este es el mundial de simetría se obtiene a partir de a $N_f$ sabores de aquí. A priori, se podría pensar que usted consigue sólo $SU(N_f)$ como el sabor global de la simetría. Sin embargo, eso sería una subestimación; el total de sabor simetría se extiende a la simpléctica. Por qué?
Esto es bastante contestada por la ecuación (A. 1) y tal vez en otros lugares. Los componentes de la materia campos son complejas, pero todavía se puede imponer una condición de la realidad. Sin embargo, la condición de la realidad implica la conjugación por la $\epsilon_{ab}$ símbolo de la $SU(2)$ R-simetría; lo que se necesita para el complejo de la conjugación de los dobletes para preservar $SU(2)$. Debido a este epsilon, uno puede añadir otra antisimétrica objeto, el $\omega_{AB}$ invariante de la simpléctica grupo, y de imponer una condición de la realidad (A. 1) en el asunto de los campos (con un extra de spinorial epsilon para los fermiones, necesaria para la conservación de la simetría de Lorentz en 3D).
Uno no podía sustituir a $\omega$ $\delta$ debido a que el 2-dimensional representación de $SU(2)$ no es real; pero es pseudoreal y el producto tensor de un pseudoreal representación de $SU(2)$ y el pseudoreal representación de $USp(2N_f)$ nos da una representación real (eso es un hecho básico en la teoría de la representación: el $j=-1$ mapa de la estructura que existe para cada pseudoreal representación obtener multiplican para obtener un $j=+1$ el mapa de la estructura del tensor de producto, demostrando que es real: yo no sé realmente si quieren que las cosas similares se explica así o conoces a ellos) – que pueden ser limitados por una condición de la realidad. El extra epsilon para el espacio-tiempo de Lorentz índices no cambia nada acerca de la realidad, ya que el 2-dimensional spinor representación de $Spin(2,1)$ es real.
El resto de la Lagrangiana (A. 4) es obtenido como la reescritura de la superspace de Lagrange partes tales como (2.3) y (2.5), así como la superpotenciales plazo (2.9), un caso especial de (2.10), el lenguaje de componentes. Los objetos tales como $s$ (bilineal) son de la contabilidad de los dispositivos para simplificar la estructura de la interacción de Lagrange, que incluye cosas como el sexto interacciones de orden (si se escribe en términos de componentes), por lo que estos términos de interacción puede ser reescrita como cúbicos en $s$, al menos algunos de ellos. Algunas de esas construcciones – y espero que todos los de ellos, que tienen una alta probabilidad de no ser auto-explicativo – se explica en el artículo y si algo no es lo suficientemente detallada, se debe especificar cuál es el punto de la confusión es porque, de lo contrario usted se está preguntando el Intercambio de la Pila a los usuarios a escribir un "más detallada (es decir, probablemente más) versión de una de 47 páginas de papel", que puede ser mucho pedir.
No debería sorprender que Weinberg o Wess y Bagger no hable de este caso particular de 3D supersimetría con estos sectores. Los trabajos sobre la superconformal 3D de Chern-Simons teorías con la materia son los descubrimientos de los últimos 5 años más o menos, de las partes de la membrana minirevolution, que eran desconocidos hace décadas cuando Wess y Bagger y Weinberg escribió sus libros de texto en la supersimetría. Sin embargo, es claro que un usuario de Xi y Davide del papel – y de otros – ha de saber cosas tales como la simpléctica de simetría. Su falta de ortografía de $USp$ $US_p$ no ofrecen algunos sugerencia de que usted realmente no sabe que el grupo y uno no puede estudiar avanzada cosas tales como 3D Chern-Simons teoría junto a la materia sin un buen conocimiento de como piezas básicas de las matemáticas como la simpléctica de simetría.
Invariancia conforme
En tales contextos, la invariancia conforme de la teoría cuántica puede ser demostrado mediante la prueba de la clásica de invariancia conforme; y la desaparición de las correcciones cuánticas que podría romper la invariancia de escala. Muy general, es suficiente para demostrar la invariancia de escala – la teoría del ser de un punto fijo – y eso es suficiente para que la teoría tenga la plena conformación de simetría, también. Si una teoría tiene una escala de invariancia y la supersimetría, es suficiente para demostrar la superconformal invariancia debido a que el exceso fermionic superconformal generadores pueden ser obtenidos como conmutadores de conformación de los generadores y SUSY generadores.
Existen excepciones a escala invariante en teorías que no son de conformación – pero estas excepciones no pueden ocurrir en la mayoría de física contextos como este. Realmente he olvidado de lo que las excepciones requieren.
El ordinario de puro 3D de Chern-Simons teoría topológica – observables sólo dependen del espacio-tiempo (o mundo de volumen) de la topología por lo que es de hecho exactamente de conformación, también. Cuando uno agrega la materia, la teoría deja de ser topológico, pero con algunas buenas opciones, puede permanecer de conformación. En el documento de Xi y Davide, la conformación de simetría de la complicada teoría se demuestra en torno a la página 8. Se demuestra de dos maneras. En el ${\mathcal N}=2$ idioma, la adición de un superpotenciales con coeficiente de $\alpha$. Para comprobar la invariancia de escala o de su fracaso, es suficiente para el cálculo de la RG funcionamiento de este nuevo parámetro $\alpha$, es decir, la beta-función, y es dado por la ecuación (2.11).
Muy general, es suficiente para comprobar que la teoría es renormalizable y la RG ejecución de todos los renormalizable adimensional acoplamientos se desvanece. Para la selección correcta de los acoplamientos, esto fue hecho en su papel. La única corrección de la cuántica de bucles a los parámetros de estas teorías es un desplazamiento fijo a la Chern-Simons nivel de $k$.
