¿Cómo demostrar esta afirmación? (Análisis real)

Question

Esta podría ser la pregunta básica en el análisis real.

Una función $f$ es $ C^2 $ en el intervalo cerrado $ [0,1]$

También la función $ f $ es satisfactoria $ f(0) = f(1) =0 $

Más, $\vert f''(x) \vert \le \ A $ en el intervalo abierto $(0,1)$

Mostrar $\vert f'(x) \vert \le \frac A2 $ en el intervalo $(0,1]$

He intentado muchas veces a través de la Rolle's thm, Mean value thm etc.

Pero fracasó. Por favor, dame algunas pistas.

Answer 1

Dos ampliaciones de Taylor en $x\in(0,1)$ son \begin{eqnarray} 0&=&f(0)=f(x)+f'(x)(0-x)+\frac{f''(a)}{2}x^2,\\ 0&=&f(1)=f(x)+f'(x)(1-x)+\frac{f''(b)}{2}(1-x)^2. \end{eqnarray} Aquí $a,b\in(0,1)$ Por lo tanto $|f''(a)|\le A$ y $|f''(b)|\le A$ . La segunda menos la primera da $$ f'(x)=\frac{f''(a)}{2}x^2-\frac{f''(b)}{2}(1-x)^2. $$ Estimación actual $$ |f'(x)|\le\frac{A}{2}(\underbrace{x^2+(1-x)^2}_{\le 1})\le\frac{A}{2}. $$ La función $f'(x)$ es continua, por lo que la estimación puede extenderse al intervalo cerrado.

Answer 2

$\displaystyle\int_0^xf'(t)dt=f(x)$

Esto significa que

$\displaystyle\int_0^1f'(t)dt=0$

Supongamos que $f'(t)>A/2$ para algunos $a\in [0,1]$ y aviso $f'(t)\geq f'(a)-Aa+At$ cuando $t<a$ y $f'(t)\geq f'(a)-At+Aa$ cuando $t\geq a$ . Deriva la contradicción utilizando la segunda integral. Un argumento similar se sigue si $f'(t)<-A/2$ para algunos $a\in [0,1]$