Cómo demostrar $(6666\ldots66)^2 + 8888\ldots88 = 4444\ldots44$ (con $n$ 6s y 8s, $2n$ 4s)

Question

Cómo demostrar que, si $n$ es un número entero positivo, entonces $$ (\underbrace{666 \ldots 6}_{n \text{ copies of } 6})^2 + \underbrace{888 \ldots 8}_{n \text{ copies of } 8} = \underbrace{444 \ldots 4}_{2n \text{ copies of } 4}? $$

Answer 1

Dado $$\underbrace{(666666666666\ldots)^2}_{n~\text{times}}+\underbrace{(888888888888\ldots)}_{n~\text{times}}$$

Ahora podemos escribir $$\underbrace{666666666666\ldots}_{n~\text{times}} = (6+6\cdot 10+6\cdot 10^2+\cdots+6\cdot 10^{n-1})$$

$$\displaystyle =6\left[\frac{10^n-1}{10-1}\right] = \frac{2}{3}\left[10^n-1\right]$$

Del mismo modo, podemos escribir $$\underbrace{88888888888\ldots}_{n~\text{times}} = (8+8\cdot 10+8\cdot 10^2+\cdots+8\cdot 10^{n-1})$$

$$\displaystyle =8\left[\frac{10^n-1}{10-1}\right] = \frac{8}{9}\left[10^n-1\right]$$

Así obtenemos $$\displaystyle \left\{\frac{2}{3}\left[10^n-1\right]\right\}^2+\frac{8}{9}\left[10^n-1\right] = \frac{4}{9}(10^n-1)^2+\frac{8}{9}(10^n-1)$$

Así obtenemos $$\displaystyle = \frac{4}{9}(10^n-1)\cdot \left[10^n-1+2\right] = \frac{4}{9}(10^{2n}-1)$$

Así que podemos escribir $$\displaystyle \frac{4}{9}(10^{2n}-1) = \underbrace{(444444444444\ldots)}_{2n~\text{times}}$$

Answer 2

Sugerencia :

Lo mostraré para 3 dígitos y conocerás la tendencia general.

$(666)^2 + 888 = 36(111)^2 + 8(111) = 111(36(111) + 8) = 444(9(111) + 2) = 444(1001) = 444444$

Básicamente, siempre obtendrá $44\ldots4$ ( $n$ tiempos) tiempos comunes $100\ldots1$ ( $n-1$ ceros) que ayudarán a repetir los dígitos.

Puedes escribir una prueba formal utilizando esta idea muy fácilmente. Sea $e_n$ sea el número entero con $n$ $1s$ . Sustituir $e_n$ para $111$ en la prueba anterior y observe que $9e_n+2=10^n+1$ .