Para encontrar los estados energéticos discretos de un operador me han enseñado a utilizar la ecuación de Schrodinger independiente del tiempo, que reitera la definición de valores propios y vectores propios. Lo que no entiendo es por qué los eigenvalores son los estados de energía, ¿hay primero una razón matemática y segundo una razón física?
¿Surge esto de la mecánica hamiltoniana o lagrangiana, con la que no estoy familiarizado?
Tanto los valores propios como los estados propios pertenecen a algún operador . En su caso, se trata del operador hamiltoniano $\hat H$ . Es fundamental por muchas razones. La primera es que se trata de un operador que representa la energía en el sentido de que los posibles niveles de energía están codificados en su espectro (es decir, un conjunto de valores propios). La segunda razón importante es que es el operador que se puede encontrar en la ecuación de Schrodinger $i \hbar \partial_t \left | \psi(t) \right > = \hat H \left | \psi(t) \right >$ . Esta ecuación se puede resolver escribiendo $\left | \psi(t) \right >$ como superposición de estados propios de $\hat H$ : $\left | \psi(t) \right > = \sum_n c_n(t) \left | \psi_n \right >$ . Si podemos encontrar estos estados, hemos terminado como $c_n(t) = \exp({-iE_n t \over \hbar}) c_n(t=0)$ resuelve la ecuación (y también muestra la importancia de estos estados propios porque son preservados por la evolución del tiempo).
Esto significa que el problema de la evolución del tiempo en la mecánica cuántica puede reducirse al problema de encontrar los valores propios y los estados propios de $\hat H$ siendo la ecuación para ello $\hat H \left | \psi_n \right> = E_n \left| \psi_n \right>$ .
Nota: lo anterior supone que $\hat H$ es independiente del tiempo. Si no lo es (como es el caso en básicamente todas las aplicaciones prácticas, utilizando la teoría de la perturbación) entonces utilizamos diferentes técnicas, por ejemplo, de integración de trayectorias, o varias fórmulas de dispersión.
Parece que confundes dos cosas: los estados propios de un operador y la ecuación de Schrödinger. A priori Estos dos no tienen nada que ver el uno con el otro.
En la Mecánica Cuántica, las magnitudes medibles están representadas por (hermitianas) operadores en un espacio de Hilbert. Por ejemplo, existe un operador $P$ correspondiente al momento. En general, al medir el momento de un estado $|\psi \rangle$ el resultado no será determinista. Sin embargo, el media en varias mediciones será igual al valor esperado
$$ \langle \psi | P | \psi \rangle $$
Sin embargo, cuando $|\psi\rangle$ es un eigenvector del operador, $P|\psi\rangle = \lambda |\psi\rangle$ entonces la medida será siempre el mismo valor $\lambda$ .
En particular, existe un operador correspondiente a la energía total, el Hamiltionian $H$ . La forma de este operador puede obtenerse a partir de la física clásica si se sustituyen el momento y la ubicación por sus operadores correspondientes. Por ejemplo, el Hamiltoniano de un electrón en un potencial eléctrico $V$ es
$$ H = \frac1{2m} P^2 + eV(X) .$$
Por lo tanto, el valor esperado para la energía de un estado $|\psi\rangle$ es $\langle \psi|H|\psi\rangle$ .
Ahora bien, el hamiltioniano es un operador muy interesante porque ocupa un lugar destacado en la ecuación del movimiento, la ecuación de Schrödinger.
$$ i\hbar \partial_t |\psi(t)\rangle = H |\psi(t)\rangle .$$
¿Qué tiene que ver esto con los valores propios del hamiltioniano? A priori nada, pero la cuestión es que conocer los vectores propios y los valores de $H$ le permiten resolver esta ecuación. Es decir, si se tiene un eigenvator $|\psi_n\rangle$ Entonces, usted tiene
$$ i\hbar \partial_t |\psi_n(t)\rangle = H |\psi_n(t)\rangle = E_n|\psi(t)\rangle$$
que puede resolverse en
$$ |\psi_n(t)\rangle = e^{-\frac{i}{\hbar} E_nt} |\psi(0)\rangle $$
En resumen, los valores propios de un operador dicen algo sobre lo que ocurre cuando se realiza medidas pero además, los valores propios del operador de energía le ayudan resolver las ecuaciones de movimiento .
La razón por la que son los valores propios de la Hamiltoniano y no algún otro operador que te dé los estados de energía es que en clásico En mecánica, la función hamiltoniana no es más que la energía de su sistema, expresada en función de la posición $x$ y el impulso $p$ . Como ejemplo sencillo, el hamiltoniano de un oscilador armónico es $$H(x,p) = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$$ Obsérvese que esto es realmente la suma de la energía cinética y potencial, por lo que podríamos escribir $$H(x,p) = E$$ .
Para llegar a la mecánica cuántica, se realiza ahora lo que se llama cuantificación canónica . No hay ninguna razón matemáticamente rigurosa para que esto dé una mecánica cuántica correcta. Dado que la cuántica no es clásica, no podemos esperar realmente encontrar una derivación sin fisuras y hermética de la primera a partir de la segunda. Sin embargo, que yo sepa, este enfoque siempre ha dado resultados correctos.
Así, en la cuantización canónica, lo que se hace es sustituir las variables del hamiltoniano, es decir $x$ et $p$ con sus versiones de operador, $\hat x$ et $\hat p$ . Ahora no podemos escribir simplemente $H(x,p) = E$ ya que la energía es un escalar, pero el Hamiltoniano $H$ es ahora un operador. Los operadores son funciones que toman una función de onda y la modifican de alguna manera y te dan una nueva función de onda. Ahora, otro postulado de la mecánica cuántica es que se obtiene el valor de expectativa de un operador $\hat A$ en un estado determinado $\Psi$ mediante el cálculo de la integral $$ \int dx \Psi^*(x) \hat A \Psi(x) $$ Por lo tanto, obtenemos el valor esperado de la energía calculando $$ \int dx \Psi^*(x) H \Psi(x)$$ Obviamente, si $H\Psi(x) = E\Psi(x)$ , entonces el valor de la expectativa arroja $E$ y no es difícil demostrar que para tal estado propio, la varianza de $E$ será $0$ es decir cada medición de la energía en el estado $\Psi$ dará el mismo valor $E$ .
Como se ha comentado por otros y se ha explicado de forma clara y matemática, los valores propios son importantes porque a) permiten resolver la ecuación dependiente del tiempo, es decir, resolver la evolución del sistema y b) un estado que pertenece al valor propio $E$ es decir, como decimos, un estado que es un estado propio con valor propio $E$ tiene un valor de expectativa del operador de energía que es fácil ver que tiene que ser $E$ mismo. Pero esas explicaciones son avanzadas y se basan en las matemáticas. Y no explican por qué $E$ debe considerarse "un nivel de energía". Con un poco de riesgo, voy a tratar de responder a su pregunta más físicamente.
¿Cuál es la razón física por la que los estados energéticos de un sistema, por ejemplo, un átomo, son los valores propios del operador $H$ que aparece en la ecuación de Schroedinger independiente del tiempo? Bueno, en primer lugar, ten en cuenta que es absolutamente la misma $H$ que aparece en la ecuación de Schrodinger dependiente del tiempo, $$H\cdot \psi = -i{\partial \psi \over \partial t}$$ que controla la tasa de cambio de $\psi$ .
La respuesta no proviene de la mecánica clásica hamiltoniana o lagrangiana, sino de las entonces nuevas propiedades cuánticas de la Naturaleza. Una característica no clásica de la QM es que algunos estados son estacionario lo que significa que no cambian en el tiempo. Por ejemplo, el electrón en una órbita de Bohr en realidad no se mueve, no orbita en absoluto, y esto resuelve las paradojas clásicas sobre el átomo (por qué la carga en rotación no irradia su energía y cae en el centro).
El primer punto clave es que un estado propio es un estado estacionario: ¿cuál es la explicación de esto? Pues bien, la ecuación de Schroedinger dependiente del tiempo dice claramente que, hasta una constante de proporcionalidad, la tasa de cambio temporal de cualquier estado $\psi$ se encuentra aplicando el operador $H$ (el Hamiltoniano: aún no sabemos que es también el operador de energía) a él: el nuevo vector o función $H\cdot\psi$ es el cambio en $\psi$ por unidad de tiempo. Obviamente, si esto es cero, $\psi$ no cambia (esta era la única posibilidad clásica). Pero también si $H\cdot\psi$ es incluso un múltiplo no nulo de $\psi$ Llámalo $E\psi$ entonces $\psi$ Además, esta tasa de cambio sigue siendo un múltiplo de $\psi$ así que a medida que pasa el tiempo, $\psi$ cambia de forma trivial: simplemente a otro múltiplo de sí mismo. En QM, un múltiplo de la función de onda representa la mismo estado cuántico, por lo que vemos que el estado cuántico no cambia.
Ahora el siguiente punto clave es que un estado con un valor energético definido debe ser estacionario. ¿Por qué? En QM, no es automático que un sistema tenga un valor definido de una cantidad física, pero si lo tiene, eso significa que su medición siempre conduce a la misma respuesta, por lo que no hay incertidumbre. Así que si no hay incertidumbre en la energía, por el principio de incertidumbre de Heisenberg debe haber una incertidumbre infinita en otra cosa, lo que sea "conjugado" a la energía. Y eso es el tiempo. No se puede decir el tiempo usando este sistema, lo que implica que no está cambiando. Por lo tanto, es estacionario. (Recuerda que no estamos asumiendo que $H$ es también el operador de energía y no estamos asumiendo la fórmula de las expectativas).
Siendo así un estado propio de $H$ implica $\psi$ es estacionario. Y tener un valor energético definido implica que es estacionario. Siendo físicos, concluimos ahora que ser un estado propio implica tener un valor de energía definido, lo que responde a tu pregunta, y estos son los "niveles de energía" de un sistema como un átomo: un sistema, incluso un átomo, podría no poseer una energía definida, pero si no la posee, no será estacionario, y al ser microscópico, la escala de tiempo en la que evolucionará será tan rápida que es poco probable que podamos observar su energía, o incluso que nos importe (ya que no será relevante para las moléculas o la química). Por lo tanto, la "mayoría" de los átomos para los que podemos medir realmente su energía deben ser estacionarios: esta es la "razón" por la que los valores definidos de energía que puede poseer un estado estacionario se denominan "niveles de energía" del sistema, e históricamente se descubrieron primero, antes de la ecuación de Schroedingers. Desde una perspectiva humana, la mayoría de los átomos que nos interesan pasan la mayor parte del tiempo que nos importa en un estado aproximadamente estacionario.
En caso de que se pregunte por qué el tiempo es el conjugado de la energía, mientras que el análisis original de Heisenberg de su principio de incertidumbre mostraba que la posición era el conjugado del momento, nos basamos en la relatividad: el tiempo no es más que otra coordenada del espacio-tiempo, y por tanto es análogo a la posición. Y en la mecánica relativista, el momento en una dirección espacial es análogo a la energía (o masa, lo mismo). En la ecuación relativista estándar $$p^2-m^2=E^2,$$ vemos que el impulso ( $p$ ) y la masa $m$ son simétricos (excepto el signo negativo) entre sí. Así que como el momento es conjugado con la posición, $m$ o la energía debe ser conjugada con el tiempo. Por esta razón, Bohr pudo extender el análisis de Heisenberg, de las relaciones de incertidumbre entre las mediciones de posición y las mediciones de momento, para mostrar las mismas relaciones entre la energía y el tiempo.
Una transformación de un conjunto a otro puede considerarse una matriz si definimos una base determinada. Del mismo modo, un operador puede considerarse una matriz. ¿Cuál es la ecuación matricial que relaciona los valores propios y los vectores propios? Estás resolviendo un problema de valores propios cuando resuelves la ecuación de Schrodinger independiente del tiempo.
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