Paradoja en la teoría especial de la relatividad

Question

Ayer empezamos la relatividad de nuestra clase de física, y mi profesor nos enseñó un par de conceptos. Hicimos algunos ejemplos de cómo cambiaron las cosas mirando a ellos desde distintos sistemas de referencia, y de la paradoja, vino a mi mente a partir de un ejemplo que él hizo en la pizarra:

Supongamos que tenemos un bug en el interior de un agujero (y supongamos que la altura de el error es de $0$). Este agujero es de $L$ metros de profundidad. Hay un hombre afuera del agujero que quiere matar el gusanillo con un clavo de longitud $l$, con $l<L$. Obviamente, no es posible para él para matar el error, tratando de empujar el clavo en el agujero. Sin embargo, si el clavo se mueve muy rápido, desde el sistema de referencia en el agujero tendrá una altura $L_n<L$, y si se mueve lo suficientemente rápido, a continuación, va a suceder que $L_n<l$, así que finalmente podría matarlo.

Por otro lado, el bicho sabe que desde su sistema de referencia, la uña tendrá una duración aproximada de $l_b<l$, de modo que nunca iba a llegar a él.

Es posible cuantificar el problema? ¿Cómo es posible que la uña de alcanzar el fallo de su sistema de referencia y desde el bug del sistema de referencia es aún más pequeño que el anterior?

Answer 1

Imagine un escenario ligeramente diferente: dos pilotos, Alice y Bob, están en sus naves espaciales. Se mueven hacia un túnel de longitud $L$ a una velocidad $v$, y se mantienen a una distancia $l'$ de diferencia. Alice es la más cercana al túnel y por lo tanto entra en primer lugar, acercándose a una pared en el extremo de la longitud del túnel. Como Bob entra en él se desacelera, llegando pronto a su fin y el envío de un mensaje a Alice diciéndole que se detenga. Este mensaje lleva una cierta cantidad de tiempo para llegar a ella, y si ella está de viaje demasiado rápido, ella le golpeó la pared antes de que el mensaje llega.

Esto es análogo a lo que está sucediendo con el clavo y el remache. La punta de la uña es Alice, y el jefe de la uña es Bob. Esto permite que el insecto aplastado en su propio marco de referencia, incluso si $l'< L$, y resuelve la paradoja.

Hay una animación de este aquí. Un más riguroso análisis, se puede encontrar aquí. También ver a Chris en Blanco la respuesta.

Answer 2

Dibuje un diagrama de espacio-tiempo. Realmente, no hay mejor manera de resolver la relatividad problemas.

En la de arriba, la uña tiene worldlines $1$ (de nuevo) y $2$ (frontal), mientras que el agujero de la worldlines son de $3$ (frontal) y $4$ (atrás). Pongámonos de acuerdo en que el origen de $\mathcal{S}$ de las coordenadas es el caso de la parte frontal de la uña justo en la entrada del agujero, es decir, la intersección de worldlines $2$ y $3$. También, todos mis coordenadas están en el orden (tiempo, espacio), con espacio en el eje horizontal, y la velocidad de la luz se ha establecido en $1$.

En el marco del agujero (en el diagrama de la izquierda), la parte posterior de la uña es una distancia $l/\gamma$ a la izquierda cuando el frente entra (evento$$). Desde el worldlines de el clavo en un ángulo $\theta = \sin^{-1}(1/v)$, podemos encontrar fácilmente en el momento en el que la parte posterior de la uña alcanza el agujero, $l/\gamma v$ (evento $B$). En este punto, la información que la parte posterior de la uña se ha detenido viaja a la velocidad de la luz ($45^\circ$ línea discontinua $BC$) al frente de la uña, no más, para decirle que deje (evento $C$).

Desde la línea de $\mathcal{S}C$ tiene la fórmula $t = x/v$ y la línea de $BC$ tiene la fórmula $t = x + l/\gamma v$, sabemos que el valor de $x$coordenada de $C$ es $$ C^x = \frac{l}{\gamma(1-v)} = l \sqrt{\frac{1+v}{1-v}}, $$ que para cualquier $l$ puede hacerse arbitrariamente grande por $v$ arbitrariamente cerca de $1$. Es decir, podemos elegir $v$ tales que $C^x > L$ y, de hecho, la colisión de la parte frontal de la uña con la parte posterior del agujero (evento $E$) ocurre antes de la uña se detiene (a diferencia de como dibujados).

Un análisis similar podría también haber sido hecho en la uña del marco, como se muestra en el diagrama de la derecha. Sabemos que $\mathcal{S}B$ tiene la fórmula $t' = -x'/v$ y worldline $1$ tiene la fórmula $x' = -l$, de modo que la parte delantera del agujero alcanza la parte posterior de la uña en vez de $B^{t} = l/v$. A continuación, la información se propaga hasta la uña a lo largo de $BC$, con fórmula $t' - l/v = x' + l$, de modo que la parte delantera de la uña sabe acerca de la colisión en el tiempo $$ C^{t} = l (1+v)/v. $$ Mientras tanto, la parte de atrás del agujero llega a la parte delantera de la uña en el momento $$ E^{t} = L/\gamma v. $$ El error será aplastado si y sólo si $E^{t} < C^{t}$, que resulta ser exactamente equivalente a la condición de $C^x > L$.

Answer 3

El error va a morir: ¿Qué causa la uña de desaceleración? es la base de la uña golpear el exterior del agujero. En el mejor de los casos para el error de la punta de la uña se detiene tan pronto como se obtiene la información (la onda de choque de la abrupta desaceleración). Esto va a viajar a través de la uña sin más rápido que la velocidad de la luz. Así que vamos a suponer que el mejor de los casos, de nuevo y de modo que la punta de la uña se detiene tan pronto como la luz que se recibe la señal desde la base de la uña cuando llega a la entrada del agujero. Aquí tienes un modelo que no depende del marco de referencia. Es más fácil dar en el clavo, el marco de referencia, creo. De modo que el agujero deje de moverse cuando la luz de la señal de llegar a la punta de la uña. Usted puede ver que incluso con un Ln>L todavía podría aplastar el error.

Answer 4

Esta es una variación de la pole y el granero de la paradoja, y es también conocido como el error y los remaches de la paradoja, consulte la Varilla de la Nave hyperphysics:

La última línea de este artículo es "la paradoja es que no se ha resuelto". Algunas personas dicen que la paradoja se resuelve a través de la consideración de la simultaneidad, pero creo que no lo es. Otra variación del tema es cuando usted y yo estamos montando 2m tablas de surf que se pasa rápido con 1 m de redes de mariposa. Podemos no tanto "scoop" unos a otros.

En definitiva creo que esto demuestra que es un tema interesante, con una longitud de contracción: si usted se mueve rápidamente más allá de algunas objeto, pudo ver como acortado. Pero no ha cambiado un ápice. En lugar de eso se cambió, junto con la manera de ver el mundo. Y en cuanto a cómo el mundo realmente es, ¿por qué, por eso hacemos la física.

PS: si alguien disparó un remache en 0.9 c, la duración de la contracción no importa. Usted está tostada.

Edit: aquí está una foto de la "scoop uno al otro" escenario. Eres el chico de la izquierda, a punto de barrer su red en más de otro tipo, la red y todo. Ves a la otra persona como la longitud contratado, pero se ve que a medida que la longitud contratado. Él dice que él es el hombre de la izquierda, a punto de barrer su red en más de usted y de su red.

Answer 5

El error vidas! Dado que TANTO el agujero y la uña se cambia de longitud en el movimiento del sistema de coordenadas y sus proporciones Ln/Lh va a ser constante, si tienes que elegir un tercer sistema de coordenadas que se mueve a la mitad de la velocidad de la uña. En este sistema, tanto el agujero y la uña se mueve a la misma velocidad en direcciones opuestas.