suma de radicales ideales

Question

Deje $A$ ser un anillo conmutativo y dotar a los subconjuntos cerrados de $\mathrm{Spec}(A)$ con el Grothendieck topología de finito cubre. Uno se puede preguntar si la presheaf $V \mapsto A/I(V)$ es una gavilla. Esto no es cierto en general y relacionados (pero no equivalente) a la siguiente pura algebraicas pregunta:

En el que conmutativa anillos de $A$ son los radicales ideales cerrado bajo la suma?

La propiedad puede ser comprobado a nivel local. Se sostiene en la dimensión $0$, y también para la integral de los dominios de la dimensión 1. No se mantienen para el $2$-dimensiones del anillo de $k[x,y]$ (considere el $(x^2 + y)+(y) = (x^2,y)$), ni para el 1-dimensional anillo de $\bigl(k[x,y]/(x^2 y + y^2)\bigr)_{(x,y)}$.

Hay otros interesantes ejemplos/contraejemplos o enfoques para una clasificación general? Creo que la propiedad tiene algunos algebro-interpretación geométrica: Todas las intersecciones de cerrado subschemes son transversales. Vea también SE/322872.

Answer 1

Con respecto a la pregunta original - no tengo buenas ideas, probablemente, la valoración de los anillos de satisfacer esta (aunque por lo general no Noetherian excepto en los casos ya descritos).

Con respecto a otras clases de ideales que satisfacer este (ahora en característica cero), los ideales de los `sindicatos de registro canónica de los centros de" satisfacer esta propiedad en característica cero (esto es principalmente debido a un resultado de Florin Ambro creo). Véase, por ejemplo, este preprint.

Answer 2

Allen Knutson tiene un agradable reciente preprint que, entre otras cosas, describe una clase de anillos (de primer carácter) para que un determinado supersubclase de la radical ideales es cerrado bajo la suma. Se llaman "Frobenius las anillas." Supongo que está definido originalmente por Brion y Kumar. Ellos se definen como los anillos de $R$ de los característicos $p$ admisión de un aditivo mapa de $\phi\colon R \rightarrow R$ tal que $\phi(a^pb) = a\phi(b)$$\phi(1)=1$. Ideal $I$ es "compatible split" si $\phi(I) \subseteq I$. Compatibilidad de split son los ideales radicales, el primer de los componentes de una compatibilidad de split ideal es compatible split, y si $I$ $J$ son de la compatibilidad de split, entonces también lo es $I+J$.

Answer 3

Recientemente, hay un muy interesante preprint por Schwede y Tucker donde la dirección de la división de Frobenius de un algebraicas punto de vista. Se demostró una declaración general (aplicables a los anillos de char 0), la cual parece estar relacionada con lo que desea. Que es el Teorema 4.2, que dice:

Deje $C$ ser una colección de primer ideales en una excelente anillo local (esto cubre casi todos los locales de anillos de interés) y la incrustación de la dimensión $n$. Supongamos que el conjunto $I = \cap_{P\in C'} P | C' \text{a finite subset of}\ C$ es cerrado bajo la suma. A continuación, el número de números primos $P\in C$ de la dimensión de $d$ es de menos de $n \choose d$.

El documento contiene muchas relacionadas con resultados así.