La integral definida
$$\int_a^b f(x)\,dx$$
es un número: en concreto, es la neta del área comprendida entre las líneas $x=a$, $x=b$, $y=0$, y la curva de $y=f(x)$.
(Se define un límite, si existe, de ciertos finito de sumas, llamado sumas de Riemann; pero la suma de límite y están diseñados para tratar de capturar la idea de área; véase, por ejemplo, esta respuesta anterior).
Ahora, uno puede tratar de calcular la integral como límite de ciertas finito de sumas. Lo que el Teorema Fundamental del Cálculo, Parte II, dice, es que estos cálculos están íntimamente (aunque sorprendentemente) conectado con la diferenciación.
Comencemos considerando una función definida en el $[a,b]$, y que tiene una integral de la $\int_a^b f(x)\,dx$.
Ahora, para cada número $c$, $a\lt c\lt b$, podemos considerar sólo el área entre el$x=a$$x=c$, en lugar de ir todo el camino a $x=b$; esto, por supuesto, es $\int_a^c f(x)\,dx$. Para cada valor de $c$, este es un número. Por eso hemos definido una nueva función: el "dominio" de la función es "todos los números entre el$a$$b$", y la regla para la función es: "dado $c$ en el de dominio, el valor de la función es la red área comprendida entre $x=a$, $x=c$, $y=0$, y $y=f(x)$." Aunque complicado de escribir, este es un valor real de la función de variable real: una regla que asigna a cada entrada válida (los números de $c$$a$$b$) y sólo una salida (la neta firmado área correspondiente a $\int_a^c f(x)\,dx$. Es decir, tenemos una función
$$c\longmapsto \int_a^c f(x)\,dx.$$
Otra forma de escribir esto es para llamar a esta función $\mathcal{F}$, y llame a la entrada de $t$ (ya que es la variable, sino $x$ ya está en uso), y escribir:
$$\mathcal{F}(t) = \int_a^t f(x)\,dx$$
de modo que $\mathcal{F}(t)$ dice que la red firmado se "a a $t$".
El Teorema Fundamental del Cálculo de la parte 2 dice usted que si usted hace esto, y
a continuación, pregunte a "es $\mathcal{F}(t)$ diferenciable?", la respuesta es "Sí, es diferenciable, y de hecho:
$$\frac{d}{dt}\mathcal{F}(t) = f(t)."$$
(Véase, por ejemplo, esta respuesta para una explicación gráfica).
Esto conduce, a su vez, el Teorema Fundamental del Cálculo, de la Parte I, que dice que no es una alternativa para calcular la integral. Es decir, si usted puede encontrar cualquier función de $\mathcal{F}(x)$ con la propiedad de que $\frac{d}{dx}\mathcal{F}(x) = f(x)$ todos los $x$$[a,b]$, luego
$$\int_a^b f(x)\,dx = \mathcal{F}(b)-\mathcal{F}(a).$$
Es decir, el Primer Teorema Fundamental del Cálculo, dice: "Hay una manera que puede evitar todos esos molestos finito de sumas y límites: si usted puede encontrar una función cuya derivada es $f$, entonces usted puede utilizar la función para calcular la integral."
Ahora, si podemos encontrar una función $\mathcal{F}(x)$ cuya derivada es $f(x)$ todos los $x$ , $\mathcal{F}(x)$ puede ser utilizado para calcular cualquiera de la integral definida de $f(x)$: simplemente conecte los límites, obtener la integral. Ya que esto es mucho más sencillo que intentar hacer las sumas de Riemann y de los límites, aunque no es una tarea trivial, nos lleva a la siguiente: en lugar de intentar hacer cada integral nos enfrentamos haciendo los límites de las sumas de Riemann, en su lugar, pruebe a hacer lo siguiente:
Dada una función continua $f(x)$, encontrar una función $\mathcal{F}(x)$ tal que $\frac{d}{dx}\mathcal{F}(x) = f(x)$ todos los $x$.
Llamamos a la función $\mathcal{F}(x)$ "antiderivada de $f(x)$".
Así que ahora, en lugar de "buscar en la red área comprendida entre $x=a$, $x=b$, $y=0$, y $y=f(x)$", nos enfrentamos con la tarea de "encontrar una antiderivada de $f(x)$."
(Tenga en cuenta que si bien existe uno y sólo un valor de la zona, hay muchos antiderivatives; sin embargo, la Función Constante Teorema nos dice que si $\mathcal{F}(x)$ $\mathcal{G}(x)$ son tanto antiderivatives de $f(x)$, $\mathcal{F}(x) - \mathcal{G}(x)$ es constante; esto significa que si podemos encontrar una antiderivada $\mathcal{F}(x)$, entonces cualquier otra antiderivada será de la forma $\mathcal{F}(x)+C$ donde $C$ es una constante).
Al igual que con "la red área comprendida entre $x=a$, $x=b$, $y=0$, y $y=f(x)$" se abrevia con un símbolo conveniente,
$$\int_a^b f(x)\,dx$$
(que tiene algunos buenos métodos de representación de propiedades, tales como la aditividad, etc), también queremos algo símbolo conveniente para
"el general antiderivada de la función $f(x)$."
Por qué? Debido a que (i) no queremos decir "el general antiderivada de la función $f(x)$" todo el tiempo (estamos perezosos); (ii) porque la buena notación es sugerente, y si podemos encontrar una buena notación que tiene algunas propiedades de anotación, que ayudarán en la resolución de problemas en el camino.
Ya que "un general antiderivada de la función $f(x)$" ( $\mathcal{F}(x)$ ) puede ser usado para encontrar cualquier de la integral definida a través del Teorema Fundamental del Cálculo, la conexión de la noción de la integral definida es una buena idea (aunque este es el principal uso de antiderivatives los estudiantes se encuentran en los comienzos, que resultan ser importantes para otras cosas, en particular para resolver ecuaciones diferenciales que gire hasta cuando vamos a describir los fenómenos físicos de todo el tiempo). Y así, desde $\mathcal{F}(x)$ es útil para calcular
$$\int_{\square}^{\triangle} f(x)\,dx$$
para cualquier $\square$$\triangle$, salimos de esos espacios "en blanco" para sugerir que "usted puede utilizar para cualquier integral". Esto conduce a la notación
$$\int f(x)\,dx$$
para una antiderivada de $f(x)$. Esto lleva a un poco de un problema, sin embargo: ya que no hay una única respuesta (muchos diferentes antiderivatives), no queremos que el mismo símbolo para representar cosas diferentes. Así que usar el símbolo de arriba para representar cualquier y todos los antiderivatives de $f(x)$ (o "la antiderivada más general de la $f(x)$"). Así que cuando escribimos algo como
$$\int x\,dx = \frac{1}{2}x^2 + C$$
estamos diciendo: "el antiderivatives de $f(x)=x$ son las funciones de $\mathcal{F}(x) = \frac{1}{2}x^2 + C$ $C$ constante."
