La visualización de Sylvester ley

Question

De acuerdo a Sylvester ley, todos los $2 \times 2$ real simétrica matriz es congruente a exactamente uno de los seis tipos estándar. Una lista de ellos.

Sé que la matriz simétrica es congruente a la diagonal de la matriz, pero, ¿qué quieren de mí a la lista. ¿Cuáles son los "tipos estándar" ?

Si tenemos en cuenta el funcionamiento de $GL_2$ $2 \times 2$ matrices por $P \star A= PAP^t$m, entonces Sylvester Ley afirma que las matrices simétricas de los seis órbitas. Podemos ver el simétrico de matrices de puntos en $\mathbb{R}^3$, dejando $(x,y,z)$ corresponden a la matriz de $\begin{pmatrix} x& y\\ y& z \end{pmatrix}$. Describir la descomposición de la $\mathbb{R}^3$ en órbitas geométricamente, y hacer una clara dibujo que representa.

Por favor ayuda, estoy realmente tener dificultad

Answer 1

Los autovalores de a $$\left(\begin{matrix}x & y \\ y & z\end{matrix}\right)$$ son $$ \lambda_{\pm}=\frac{1}{2}\left((x+z)\pm\sqrt{(2y)^2+(x-z)^2}\right). $$ La matriz tiene la firma de $(2,0)$ o $(1,0)$ si $x+z \ge \sqrt{(2y)^2+(x-z)^2}$ (con la firma de $(1,0)$ con igualdad), o de manera similar $(0,2)$ o $(0,1)$ si $x+z \le -\sqrt{(2y)^2+(x-z)^2}$ o $(1,1)$ si $|x+z|<\sqrt{(2y)^2+(x-z)^2}$ o $(0,0)$ si $x=y=z=0$. Usted debe ser capaz de interpretar cada una de estas condiciones geométricamente (los límites son superficies cuadráticas).

Answer 2

La ley en cuestión es "Sylvester Ley de la Inercia", por lo que los seis tipos se refieren a los seis diferentes tipos de inercia/firma. Es decir, si el signo de cada autovalor es clasificado como "+" (positivo), "0" (cero) o "-" (negativo), ¿cuáles son los seis signo posible de pares (haciendo caso omiso de la orden)?

Edit: Por Sylvester ley de la inercia, la inercia de una real simétrica matriz es preservada por la congruencia. Por lo tanto, la "órbita" de la señal de par (+,0), por ejemplo, es sólo el conjunto de todas las matrices con un autovalor positivo y un autovalor cero (es decir, el conjunto de todos los singular y positivo semidefinite matrices). Ahora, un $2\times2$ real simétrica matriz se encuentra en esta órbita, si y sólo si su traza es positiva, pero su determinante es cero. Por lo tanto la órbita descrita por $\{(x,y,z): x+z>0,\ xz=y^2\}$$\mathbb{R}^3$, es decir, es la parte de la superficie de la $xz=y^2$ acostado dentro de la abrir la mitad de espacio -$x+z>0$. Para la órbita de (+,+), Sylvester criterio es útil. Los otros cuatro casos son más fáciles de manejar o pueden ser manejados de forma análoga.

Answer 3

Los tipos se refieren a la señal de las entradas de la diagonal. Así que los tipos son $\text{diag}(1,1)$, $\text{diag}(1,0)$, $\text{diag}(1,-1)$, $\text{diag}(0,0)$, $\text{diag}(0,-1)$, $\text{diag}(-1,-1)$. Cada $2\times2$ simétrica matriz es equivalente a uno de estos por una asignación de la forma $P^t A P$ donde $P$ es invertible.

(¿Cómo puedo saber esta terminología? Tomé una clase de J. H. Conway hace 32 años. Él la llamó Sylvester ley de la inercia.)

Ahora usted entiende lo que la pregunta significa, que debe ser fácil de responder.

Answer 4

Las seis matrices de$$\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}$$son los representantes de las órbitas.

El determinante de la matriz$A = \begin{pmatrix}x & y \\ y & z\end{pmatrix}$$xz - y^2$, y debido a que el factor determinante es homogénea, el locus $xz = y^2$ es un ellptical de doble cono $C$$\mathbb{R}^3$. Para visualizar el cono, uno puede diagonalize por la sustitución $\sqrt{2}x = u + v$, $\sqrt{2}z = u - v$. La ecuación se convierte en $u^2 = v^2 + 2y^2$.

El cono se divide en tres órbitas, los tres primeros en la lista, y también se divide en tres partes conectadas de la pieza, $\{0\}$, el "positivo" cono $C^+$$u > 0$, y el "negativo" de cono $C^-$$u < 0$. El complemento de $C$ $\mathbb{R}^3$ se divide en los tres restantes de las órbitas, y se divide en tres partes conectadas de la pieza, los interiores $D^+$$D^-$$C^+$$C^-$, y el exterior de la $\Delta$ del cono.

Es natural suponer que las órbitas de los seis representantes de los conjuntos $0$, $C^+$, $C^-$, $D^+$, $D^-$, $\Delta$, en ese orden, y es obvio que la órbita de $0$$0$. Para mostrar esto, primero se comprueba que los representantes de los respectivos conjuntos. Luego la cosa más rápida de hacer es tener en cuenta que uno puede poner una matriz simétrica $A$ en la forma estándar, en el que $P^\text{T}AP$ es uno de los seis matrices de la lista, utilizando una matriz de $P$ que tiene determinante positivo. El grupo de matrices con determinante positivo es el camino conectado. Por lo tanto, una órbita también será ruta de acceso conectado. Conectado a la órbita de $e_{11}$ está contenido en $C$, y dado que el complemento de $0$ se divide en dos partes, que órbita debe estar completamente contenida en $C^+$. Del mismo modo, la órbita de $-e_{11}$ debe estar completamente contenida en $C^-$. Juntos las órbitas de $0$, $e_{11}$, y $-e_{11}$ maquillaje $C$. Así que la órbita de $e_{11}$ debe $C^+$, etc$\dots$

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En aras de la exhaustividad, las órbitas son explícitamente:

• $1$, $1$ da $(a^2 + c^2, ab + cd, b^2 + d^2)$ con $ad - bc \neq 0$ $($negativa de $-1$, $-1)$. A continuación,$xz - y^2 = (ad - bc)^2 > 0$, con $x$, $z > 0$.
• $1$, $-1$ da $(a^2 - c^2, ab - cd, b^2 - d^2)$$ad - bc \neq 0$. A continuación,$xz - y^2 = -(ad - bc)^2 < 0$, sin restricciones en $x$, $z$.
• $-1$, $-1$ da $(-a^2 - c^2, -ab-c, -b^2-d^2)$ con $ad - bc \neq 0$ $($enfrente de $1$, $1)$. A continuación,$xz - y^2 = (ad-bc)^2 > 0$, con $x$, $z < 0$.
• $1$, $0$ da $(a^2, ab, b^2)$ con $ad - bc \neq 0$ $($enfrente de $-1$, $0)$. A continuación,$xz = y^2$, con $x$, $z \ge 0$ pero no ambos cero.
• $-1$, $0$ da $(-a^2, -ab, -b^2)$ con $ad - bc \neq 0$ $($enfrente de $1$, $0)$. A continuación,$xz = y^2$, con $x$, $z \le 0$ pero no ambos cero.
• $0$, $0$ da $(0, 0, 0)$.

Estos son simplemente determinante de las identidades.