Hay forma cerrada para $\int_0^{\pi/4}\exp(-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\tan^{2n}x}{n+a})\ dx$?

Question

Hay forma cerrada para $$I(a)=\int_0^{\pi/4}\exp\left(-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\tan^{2n}x}{n+a}\right)dx $$where is $un\(-1,3)$

He probado con $\tan x=u$ y me dieron el resultado de la suma en el plazo de HurwitzLerchPhi, pero no pude.

Answer 1

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\tan^{2n}x}{n+a}=\tan^2(x)\;\Phi\left(\tan^2(x)\;,\;1\;,\;1+a \right)$$

donde $\Phi$ es Hurwitz-Lerch trascendente función. $$I(a)=\int_0^{\pi/4}e^{-\tan^2(x)\;\Phi\left(\tan^2(x)\;,\;1\;,\;1+a\right)}dx $$ Para unos determinados valores de $a$, el Hurwitz función se reduce a una función de nivel inferior. Así, en determinados casos, la integral es probable que tenga una forma cerrada (por ejemplo, en el caso de $a=0$).

Pero, en el caso general, es muy poco probable que esta integral tiene una forma cerrada.