¿Qué son exactamente las propiedades de la Topología?

Question

He mirado a través de muy pocos recursos en internet y realmente no puedo encontrar una buena respuesta a esta pregunta. Estoy empezando a entrar en la topología y los colectores y me encontré con la declaración de "Una taza de café y un toro son topológicamente el mismo....cualquier lazo cerrado y de un círculo son topológicamente la misma."

Me refiero obviamente, son geométricamente bastante diferentes. Entonces, ¿qué son las propiedades que la topología se refiere específicamente? Sé que los colectores son una historia completamente diferente y nos da mucho mayor comprensión de la geometría de nuestra forma determinada, pero estoy específicamente preguntándose qué topología de las "medidas". Una respuesta matemática y un laico respuesta sería muy apreciada, gracias!

(si esto es demasiado general, de una pregunta, tal vez dar las 3 propiedades más importantes)

Answer 1

La topología se refiere con funciones continuas. No es una función continua por lo que los puntos en la superficie de la taza de café se corresponden con los puntos en la superficie de la rosquilla. Es "continua en ambas direcciones", es decir, si $f$ va de la copa del donut, a continuación, $f$ $f^{-1}$ son continuos. Intuitivamente, puede cambiar de una superficie a la otra por el estiramiento sin que se rompa.

Considere la función de $[0,2\pi)$ a del círculo, parametrizadas por $\theta\mapsto(\cos\theta,\sin\theta)$. Esa es una función continua, pero la inversa no es continuo, ya que como se mueve alrededor del círculo, $\theta$ hace discontinua de salto desde uno de los extremos del intervalo para el otro como el punto en el círculo que pasa por $(1,0)$. Pero ahora vamos a cambiar que los subconjuntos de a $[0,2\pi)$ consideramos abrir conjuntos: un conjunto que contenga $0$ estará abierto sólo si se incluye como un subconjunto $[0,\varepsilon)\cup(2\pi-\varepsilon,2\pi)$ algunos $\varepsilon>0$. Cada conjunto abierto que contiene a $0$ cubre las piezas de ambos extremos. Entonces tenemos que en efecto se pegan los extremos juntos, y el salto de uno de los extremos del intervalo para el otro ya no es una discontinua de salto. De repente la función en una dirección y la función en la otra dirección son continuos. Una moraleja es esta: la topología en el espacio es simplemente una cuestión de que los conjuntos se considera abierto.

Answer 2

Para agregar a la de Henry respuesta, la topología se ocupa de la comprensión espacios topológicos, que son muy general de la clase de objetos que masivamente generalizar las cosas, como círculos, los donuts, las tazas de café, de dimensiones superiores, objetos, etc.

Espacios topológicos vienen con la suficiente información para hablar de la continuidad, y podemos hablar de espacios compactos, lo que significa cerrado y acotado, como una sólida bola, o conectados, lo que significa que no puede ser dividido en distintos pedazos. Así, por ejemplo, la letra X se conecta, pero en minúscula yo no.

Una manera de tratar a la comprensión de estos espacios está asociando algebraicas simples objetos para ellos, tales como grupos. Esto se llama topología algebraica. Aquí es donde Henry Swanson del grupo fundamental de la vida, así como otros objetos llamados cohomology y homología de grupos, y otros objetos llamados homotopy grupos de generalizar el grupo fundamental. Estos objetos son bastante abstracto, y algunos son más fácilmente computable de los demás.

Así que, ¿cómo estas algebraicas objetos nos ayudan? Así, si dos espacios no tienen el mismo objeto asociado con ellos, entonces no es el mismo en algún sentido técnico. Es importante saber que hay muchas maneras en que los objetos pueden ser el mismo o no, es decir, homeomórficos, homotopy equivalente, etc.

¿Qué son estos objetos de medición? Esto es bastante interesante. El grupo fundamental de las medidas de los "agujeros" de un objeto. A veces distinto de cero cohomology grupos representan un obstáculo para ciertas ecuaciones para dar soluciones. Y la lista sigue...

Answer 3

Soy terrible con la topología, así que esto es principalmente un laico de respuesta.

En dimensiones bajas ($3$ e inferior), el grupo fundamental es bueno para entender el comportamiento de un espacio. Se mide en forma de bucles se comportan de una superficie (o $n$-volumen, pero en 2D es fácil de imaginar). Imagina que tienes una hormiga en la superficie de una esfera. Ancla de la cuerda a un punto, entonces vaga alrededor de la esfera hasta que regresa a su punto de partida, formando un bucle. Si se tira de la cuerda, el bucle se contrato a un punto. Pero esto no es cierto si la hormiga vive en un toro, el bucle se puede conseguir "atrapado" en el hoyo en el medio, o alrededor de la pastosa parte. En virtud de concatenación, estos bucles de formar un grupo (para el toro es $\mathbb{Z}^2$). Pero en dimensiones $4$ y más, usted puede construir colectores que tiene cualquier grupo como su grupo fundamental, por lo que se convierte en mucho menos útil.

En el lado positivo, en las dimensiones de $5$ o más, muchas cosas simplificar, porque puede realizar la cirugía en ellos. No estoy muy seguro de lo que preguntas profundas en esta área, pero parece estupendo para cortar cosas aparte y pegarlas de nuevo juntos.

Entonces no hay punto de conjunto de la topología, que sólo me sorprende. Es preocupante general; se inicia con sólo un conjunto, y una definición de subconjuntos que son "abiertas" y, a continuación, obtener la continuidad y límites de que, de alguna manera. Estoy bastante seguro de que si los espacios son compactos es una cosa muy importante, pero me perdí la mini-conferencia.

Answer 4

Para un período mucho más corto de respuesta - topología se preocupa de la estructura global de las formas, mientras que la geometría se preocupa por la pequeña escala de la estructura. Esta diferencia se pone de manifiesto por tu dona frente taza de café ejemplo; "ambos tienen un agujero" es la estructura a gran escala, pero en pequeñas escalas de la dona y la taza de café con un aspecto bastante diferente.