Me acabo de enterar de la Wikipedia que el subproducto de dos (propiedad conmutativa) anillos es dado por el tensor de productos a través de los números enteros, y que el subproducto de una familia de anillos está dada por una "construcción análoga a la del producto libre de grupos". Puede que el producto tensor enfoque se pueden generalizar a una arbitraria de la familia de los anillos? (Infinito producto tensor?) Estoy un poco sorprendido de que el subproducto de anillos conmutativos requiere no conmutativa de la estructura (gratis de grupo). ¿Alguien tiene una referencia que de manera explícita se construye el subproducto?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Su pregunta es ligeramente ambiguo, así que vamos a separar las declaraciones para las categorías de anillos conmutativos y anillos.
El infinito subproducto de anillos conmutativos en $\text{CRing}$ es que no se da a través de un infinito producto tensor, la razón de ser intuitivamente que sólo se puede multiplicar un número finito de elementos de un anillo en un tiempo infinito y el tensor de productos de acuerdo con el intento de multiplicar infinitamente muchas cosas a un tiempo. De hecho, es dada por un filtrado colimit de finito de tensor de productos. Más precisamente, vamos a $A_i, i \in I$ ser indizada a la familia de anillos conmutativos, y para cada subconjunto finito $J$ $I$ considera que el producto tensor $A_J = \bigotimes_{i \in J} A_i$. A continuación, el infinito subproducto $\bigsqcup_i A_i$ es el filtrado colimit de la $A_J$ equipada con todas las de la inclusión de mapas de $A_{J_1} \to A_{J_2}$ donde $J_1 \subset J_2$. La inclusión de mapas de este aspecto:
$$a_{i_1} \otimes ... \otimes a_{i_n} \to a_{i_1} \otimes ... \otimes a_{i_n} \otimes 1_{A_{i_{n+1}}} \otimes ... \otimes 1_{A_{i_m}}$$
donde$|J_1| = n$$|J_2| = m$.
El infinito subproducto de los anillos en $\text{Ring}$ es un infinito de productos gratis. Como un grupo abelian, se construye de manera similar a la anterior; para una familia indizada $A_i, i \in I$ de los anillos que consiste en un filtrado colimit (de abelian grupos!) finito de tensor de productos (como abelian grupos!) de la $A_i$ donde podemos repetir factores (debido al hecho de que no podemos asumir que las imágenes de $A_i$ $A_j$ conmutar en general). La multiplicación es dada por la concatenación. No sé de referencia para la construcción, sino que consiste más o menos en el siguiente de su nariz. En caso de duda, siempre consulte de nuevo a la característica universal.
En particular, el functor $\text{CRing} \to \text{Ring}$ no conserva los co-productos; la frase "subproducto de la propiedad conmutativa de los anillos" tiene un significado diferente dependiendo de si usted quiere tomar el subproducto en $\text{CRing}$ o en $\text{Ring}$ debido a que el correspondiente universal propiedades son diferentes.
