Cómo demostrar que $P_{2n}<(n+1)^2$

Question

el enésimo prime por $P_{n}$, probar o diprove $$P_{2n}<(n+1)^2$$ $$P_{2}=3<4,P_{4}=7<9,P_{6}=13<16\cdots$$

Es bueno saber que $$P_{n}<2^{2^n}$$

ver:http://www.maths.tcd.ie/pub/Maths/Courseware/PrimeNumbers/Primes-I.pdf Gracias a todos

Answer 1

Podemos probar por completo de primaria significa que para todos los $n\ge 2$, $$\frac{n}{6\log n}<\pi(n)<\frac{6n}{\log n},$$ utilizando las estimaciones de la $2^n\le \binom{2n}{n}<4^n$ etc., véase, por ejemplo, Tom Apostol del libro en anayltic la teoría de números. Para$n=p_m$, $m$- ésimo primo, tenemos $\pi(p_m)=m$, y de ello se deduce fácilmente que $p_m<cm\log(m)$ para alguna constante positiva $c$. Entonces este es menor que $(m/2+1)^2$ todos los $m\ge c_1$. Uno tiene que comprobar los valores pequeños de a $m$, y quizás calcular adecuado constantes $c$$c_1$, pero esto no debería ser un problema.

Por supuesto, la pregunta es, lo que usted desea utilizar para una prueba. Esto dependerá de tu gusto, demasiado. En cualquier caso, Chebychev tipo de estimaciones en $\pi(n)$ va a producir la deseada estimación.