Encontrar vectores de la base del espacio vectorial de todas las $4 \times 4$ de los cuadrados mágicos

Question

Estoy tomando un curso de álgebra lineal y necesito solucionar este problema:

Vamos a definir un cuadrado mágico como una matriz cuyas sumas de todos los los números en una línea, una columna y en la diagonal principal y el principal anti-diagonal son los mismos.

1. Demostrar que $4 \times 4$ cuadrados mágicos forman un espacio vectorial.

2. Encontrar los vectores de la base de este espacio vectorial.

Hay más preguntas en el ejercicio, pero supongo que estos son los más importantes que me va a ayudar a resolver otras preguntas.

Ya he buscado en casi toda la Internet, pero no soy capaz de encontrar la respuesta. Gracias!

Answer 1

(Edit: no estoy seguro de si he leído el OP correctamente, pero a mi entender, salvo que la suma de las entradas a lo largo de la principal diagonal o principal anti-diagonal, toda la línea sumas a lo largo de otras diagonales no son parte de la definición).

Denotar por $r_i$ $i$- ésima fila suma, $c_j$ $j$- ésima columna suma, $d$ la diagonal de la suma y la $a$ el anti-diagonal de la suma. Todo lo que se llama "cuadrado mágico" en cuestión debe cumplir con los siguientes 9 restricciones: $$r_1=d,\ r_2=d,\ r_3=d,\ r_4=d,\ c_1=d,\ c_2=d,\ c_3=d,\ c_4=d,\ a=d.$$ (Digo "la llamada" en la anterior, porque la definición que aquí se desvía de la convencional --- aquí, un cuadrado mágico que puede tener el no-entero o incluso negativo entradas.)

Claramente la restricción $c_4=d$ es redundante, porque la suma de todas las filas sumas de dinero debe ser igual a la suma de toda la columna de sumas. Desde una $4\times4$ de la matriz se especifica por 16 entradas, ahora tiene 16 incógnitas y en la mayoría de los 8 independientes de las restricciones. Esto sugiere que la dimensión del espacio vectorial en cuestión es , al menos, 16-8=8.

Así que, para demostrar que la dimensión del espacio vectorial en cuestión es exactamente 8, usted sólo tiene que mostrar que los 8 restantes limitaciones de hecho son linealmente independientes. Esto equivale a probar que algunos $8\times16$ matriz tiene una fila completa de rango. Se toma un poco de trabajo, pero no debería ser difícil.

Después de haber demostrado que la dimensión es de 8, no es difícil encontrar una base. Todo lo que necesitas es construir un cuadrado mágico con un valor distinto de cero de la fila/columna/diagonal/anti-diagonal sumas y 7 cuadrados mágicos con cero de la fila/columna/diagonal/anti-diagonal sumas. Esto es fácil: \begin{align*} &\pmatrix{1&1&1&1\\ 1&1&1&1\\ 1&1&1&1\\ 1&1&1&1}, \ \pmatrix{1&0&0&-1\\ 0&-1&1&0\\ 0&1&-1&0\\ -1&0&0&1},\\ &\pmatrix{1&-1&0&0\\ -1&1&0&0\\ 0&0&-1&1\\ 0&0&1&-1}, \ \pmatrix{1&0&-1&0\\ 0&-1&0&1\\ -1&0&1&0\\ 0&1&0&-1},\\ &\pmatrix{0&0&-1&1\\ 0&0&1&-1\\ 1&-1&0&0\\ -1&1&0&0}, \ \pmatrix{0&-1&0&1\\ 1&0&-1&0\\ 0&1&0&-1\\ -1&0&1&0},\\ &\pmatrix{0&1&-1&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&-1&1&0}, \ \pmatrix{0&0&0&0\\ 1&0&0&-1\\ -1&0&0&1\\ 0&0&0&0}. \end{align*}

Mirando las diagonales y anti-diagonales de sus combinaciones lineales, debería ser bastante obvio que estos 8 cuadrados mágicos de hecho son linealmente independientes.

Answer 2

He aquí otra base, con una fácil prueba de independencia lineal: la entrada marcada con una estrella es el único distinto de cero de la entrada en ese lugar en cualquiera de los ocho matrices. $$\pmatrix{1*&0&0&0\cr0&0&0&1\cr0&1&0&0\cr0&0&1&0\cr}\quad\pmatrix{0&1*&0&0\cr0&0&0&1\cr0&0&1&0\cr1&0&0&0\cr}\quad\pmatrix{0&0&1*&0\cr0&0&0&1\cr0&0&1&0\cr1&1&-1&0\cr}\quad\pmatrix{0&0&0&1*\cr0&0&0&1\cr0&-1&2&0\cr1&2&-1&-1\cr}\quad\pmatrix{0&0&0&0\cr1*&0&0&-1\cr0&1&-1&0\cr-1&-1&1&1\cr}\quad\pmatrix{0&0&0&0\cr0&1*&0&-1\cr0&0&-1&1\cr0&-1&1&0\cr}\quad\pmatrix{0&0&0&0\cr0&0&1*&-1\cr0&-1&0&1\cr0&1&-1&0\cr}\quad\pmatrix{0&0&0&0\cr0&0&0&0\cr1*&1&-1&-1\cr-1&-1&1&1\cr}$$

Un enfoque similar es tomada en el Barrio, espacios Vectoriales de los cuadrados mágicos, Matemáticas Mag 53 (1980) 108-111.