Si la raíz cuadrada de dos es irracional, ¿por qué puede ser creada dividiendo dos números?

Question

Estoy haciendo cálculo avanzado y me quedé un poco atascado en esta pregunta… Busqué en línea y decía que un número es racional si puede ser el cociente de dos enteros. Así que hice esto:

Sé que es irracional porque si en realidad fuera racional, los matemáticos lo habrían descubierto. Entonces mi pregunta es, ¿por qué la raíz cuadrada de dos es irracional?

Answer 1

Elevar al cuadrado el número que has publicado:

$$1.41421356237 \cdot 1.41421356237 = 1.9999999999912458800169$$

entonces el resultado no es $2$, por lo tanto el número no es $\sqrt{2}$ (sino más bien una aproximación racional de este).

Answer 2

Este es el habitual prueba por contradicción de que $\sqrt2$ es irracional (a menudo atribuido erróneamente a Euclides):

Supongamos que $\sqrt2$ es racional.
Entonces $\sqrt2=\dfrac mn$ donde $m,n\in\Bbb N$ y $\gcd(m,n)=1$.
Al elevar al cuadrado, $2=m^2/n^2\implies2n^2=m^2\implies m=2k$ para algún $k\in\Bbb N$ ($m$ es par).
Luego $2n^2=4k^2\implies n^2=2k^2$, por lo que $n$ debe ser par.
Pero ahora vemos que 2 divide tanto a $m$ como a $n$, lo que contradice la suposición inicial de que $\gcd(m,n)=1$.
Por lo tanto, $\sqrt2$ es irracional.

Tu intento de demostrar la racionalidad de $\sqrt2$ falla porque podemos llevar tu fracción a través de este argumento y llegar a absurdos (por ejemplo, $2n^2=m^2$, lo cual es falso por cálculo directo).

Sin embargo, podemos acercarnos arbitrariamente a $\sqrt2$ con números racionales, y buenas aproximaciones han sido conocidas por siglos, como $99/70$ y $577/408$. Estos derivan de la expansión en fracción continua de $\sqrt2$ como $[1;2,2,2,2,\dots]$ y son mejores que tus expansiones basadas en dígitos decimales en el sentido de que tienen el denominador más pequeño para una precisión dada.

Answer 3

La raíz cuadrada de dos no puede ser exactamente escrita en una pantalla de computadora en notación decimal - los dígitos se extienden para siempre. Estás viendo una aproximación precisa a muchos dígitos. La aproximación en sí, sin embargo, es racional, como has demostrado. Si la expandes a más dígitos, te darás cuenta de que tu cantidad tiene ceros que se extienden hasta el infinito, mientras que $ \sqrt{2} $ tiene más dígitos. Por lo tanto, tu número racional no contradice la prueba dada por la comunidad matemática de que $ \sqrt{2} $ es irracional.

Nota: solo porque un número sea irracional no significa que no pueda ser aproximado arbitrariamente bien por números racionales - todos los números, racionales e irracionales pueden, y esa propiedad se conoce como "los números racionales son densos en los números reales". Por ejemplo, para $ \sqrt{2} $: \begin{align} \frac{1}{1}, \frac{14}{10}, \frac{141}{100}, \frac{1414}{1000}, \frac{14142}{10000}, ... \end{align} se acercan arbitrariamente a $ \sqrt{2} $, pero ninguno es igual a él.

Tema relacionado: si estás interesado en números racionales que convergen rápidamente a números irracionales, revisa fracciones continuas. Son realmente geniales. Números interesantes como $ \sqrt{2} $ a menudo tienen expansiones de fracciones continuas con coeficientes de forma cerrada - $ \sqrt{2} $ puede ser representado por una fracción continua con un primer coeficiente de 1 y todos los siguientes coeficientes de 2. Puedes hacer todo tipo de cosas extrañas con esto, como demostrar que el Número de Oro (que tiene una expansión de fracción continua de todos los 1's) es el/uno de los números irracionales que más tarda en converger, o en conceptos más simples, los números racionales utilizados para aproximar necesitan un denominador realmente grande para hacer un buen trabajo.

Answer 4

"¿Eso significa que todos los números irracionales son infinitos?"

Los números irracionales son exactamente aquellos números que requieren infinitos dígitos a la derecha del punto de base, sin importar la base que estés utilizando. (Gracias Beanluc: Normalmente decimos "punto decimal" pero eso obviamente estaría mal en bases diferentes a la base 10, por lo que el término genérico es "punto de base". )

Un número como 1/3 necesita infinitos dígitos en base 2, 10, 16 pero no en base 3, 6, 9, 12. $2^{1/2}$ necesita infinitos dígitos en cada base.

Answer 5

No hay nada tan misterioso: $$ \left(\frac{141421356237}{10^{11}}\right)^{\!2}= \frac{19999999999912458800169}{10^{22}}\ne 2 $$ Por lo tanto, $\dfrac{141421356237}{10^{11}}$ no es $\sqrt{2}$.

Sin cálculos: $141421356237$ es impar, por lo que su cuadrado también es impar. Por lo tanto, la fracción no puede simplificarse a un número entero par.