Mi pregunta es ¿por la siguiente función racional es una buena aproximación de la raíz cuadrada de $x$?
$$\sqrt{x}\approx\frac{256+1792x+1120 x^{2}+112 x^{3}+x^{4}}{1024+1792x+448 x^{2}+16 x^{3}}$$
La siguiente imagen ilustra el hecho de que para $3\leqslant x\leqslant 7$ las dos curvas son casi idénticos:
Más generalmente, ¿por qué la siguiente fórmula sostener con tanta exactitud?:
$$\sqrt{n}\approx\frac{m^{8}+28 m^{6}n+70 m^{4}n^{2}+28 m^{2}n^{3}+n^{4}}{8 m^{7}+56 m^{5}n+56m^{3}n^{2}+8m n^{3}}$$
para cualquier número real (no entero) $n\geqslant 1$ y el:
$$m=\left\lfloor\frac{1+\sqrt{4n-3}}{2}\right\rfloor$$
El siguiente gráfico muestra que para $0\leqslant n\leqslant10000$ las dos curvas no pueden ser separados por los ojos:
Y este es el logaritmo del error en la aproximación que disminuye de forma cíclica (presumiblemente debido a que el suelo en la definición de $m$) pero, a continuación, empieza a ser un poco menos precisa paso a paso como $n$ aumenta:
(Edit: Varias personas han mencionado que Pade approximants abajo y que la primera fórmula es un Pade approximant, lo que explica por qué es una buena aproximación. Realmente me gusta especialmente, para saber por qué la segunda fórmula es una buena aproximación sobre la amplia gama que te he mostrado en el segundo gráfico (que es la relativa a la Pade approximants también?), y realmente me gustaría saber por qué el proceso que voy a describir en la siguiente sección de cómo llegué a estas funciones se da Pade approximants a todos a partir de las proporciones de los coeficientes binomiales. A primera vista, parece como si pudiera haber algo profundo pasando aquí?)
¿Cómo puedo encontrar estos y lo que ya sabemos:
Mientras que jugando con las matemáticas una vez que me di cuenta de que $(3+\sqrt{8})^{8}\approx1331714$ con muy buena precisión. Desde el teorema del binomio que da ese $(3+\sqrt{8})^{8}=665857+235416\sqrt{8}$ y desde $1331714=2\times665857$ vi que el que dio la aproximación:
$$\sqrt{8}\approx\frac{665857}{235416}$$
que es bastante precisa. He encontrado esta interesante, pero a explorar más me encontré con que similar cerca entero resultados fueron producidos por:
$$(1+\sqrt{2})^{8}\approx1154$$
$$(2+\sqrt{3})^{8}\approx37634$$
$$(2+\sqrt{4})^{8}=65536$$
$$(2+\sqrt{5})^{8}\approx103682$$
$$(2+\sqrt{6})^{8}\approx153632$$
$$(3+\sqrt{7})^{8}\approx1032224$$
y así sucesivamente, y he encontrado que, en general, yo podría conseguir un muy precisa cerca entero de (al menos un poco) la expresión de la forma $(m+\sqrt{n})^{8}$ donde $n$ de aumento sobre los enteros $m$ más como:
$$m=\left\lfloor\frac{1+\sqrt{4n-3}}{2}\right\rfloor$$
Cuando estas expresiones se expandió hacia todos ellos estaban en el formulario de $a+b\sqrt{n}\approx2a$ donde:
$$a=m^{8}+28 m^{6}n+70 m^{4}n^{2}+28 m^{2}n^{3}+n^{4}$$
$$b=8 m^{7}+56 m^{5}n+56m^{3}n^{2}+8m n^{3}$$
A partir de esto se obtiene a mi ecuaciones originales que he publicado.
Por ahora no hay nada particularmente interesante sobre la octava poderes que me han sido de trabajo; noveno poderes funcionan tan bien (un poco más de precisión) y la séptima poderes son un poco menos precisa, dando una fórmula similar:
$$\sqrt{n}\approx\frac{m^{7}+21 m^{5}n+35 m^{3} n^{2}+7m n^{3}}{7 m^{6}n+35 m^{4} n^{2}+21 m^{2} n^{3}+n^{4}}$$
Así, algunas de las razones detrás de estas fórmulas debe ser el hecho de que el $m+\sqrt{n}$ tienen poderes tiende a enteros, y casi la única cosa que he podido averiguar acerca de por qué esto podría funcionar es que algunos de estos números son Pisot-Vijayaraghavan números (es decir, sus poderes tienden hacia enteros).
Sin embargo, esto no explica el fenómeno, pues no sé por qué el efecto sería mayor para $m=\left\lfloor\frac{1+\sqrt{4n-3}}{2}\right\rfloor$ o importante, por qué la convergencia debe ser de la forma $(m+\sqrt{n})^{c}=a+b\sqrt{n}\approx 2a$ (que es donde la aproximación procede) o por qué la fórmula de la derivada debe también llevar a cabo para no integral a $n$. En lugar de una parte importante parece estar en la formulación como:
$$\left(\frac{Even Binomial Terms}{Odd Binomial Terms}\right)^{\pm 1}$$
y tal vez en la expresión de $m=\left\lfloor\frac{1+\sqrt{4n-3}}{2}\right\rfloor$.
Así que mi pregunta es: ¿por qué estas fórmulas de trabajo?
