¿Por qué es el Triángulo de Pascal se llama un Triángulo?

Question

Triángulo de Pascal se extiende infinitamente hacia abajo, es decir, en sólo tiene dos lados. Entonces, ¿por qué se llama un triángulo si un triángulo, por definición, debe tener tres lados?

Answer 1

"Excuse me! ¿Quién dice que lo mío no se ve un triángulo?"

~ Blaise Pascal

Answer 2

Me parece Pascal forma original mucho mejor. Ligeramente modernizada:

$$ \begin{array}{ll|llllllllll} \label{my-label} & & j & → & & & & & & & & \\ & & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline i & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ ↓ & 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & \\ & 2 & 1 & 3 & 6 & 10 & 15 & 21 & 28 & 36 & & \\ & 3 & 1 & 4 & 10 & 20 & 35 & 56 & 84 & & & \\ & 4 & 1 & 5 & 15 & 35 & 70 & 126 & & & & \\ & 5 & 1 & 6 & 21 & 56 & 126 & & & & & \\ & 6 & 1 & 7 & 28 & 84 & & & & & & \\ & 7 & 1 & 8 & 36 & & & & & & & \\ & 8 & 1 & 9 & & & & & & & & \\ & 9 & 1 & & & & & & & & & \end{array} $$

De esta manera, se define para todos los $(i, j) \in \mathbb{N}^2$. Las identidades son más agradables, y también:

$$T_{i,j} = T_{j, i}$$ $$T_{i,j} = \frac{(i+j)!}{i!j!}$$ $$T_{i+1,j+1} = T_{i+1,j} + T_{i,j+1}$$

Fila suma:

$$\sum_{i+j=n}T_{i,j} = 2^n$$

El "palo de hockey":

$$T_{i,j+1} = \sum_{0 \leq k \leq i}{T_{k,j}}$$

Y por último, para los amantes del coeficiente binomial:

$$T_{i,j} = \binom{i+j}{i} = \binom{i+j}{j}$$

Por supuesto, la de mayores dimensiones de las formas son también muy fácil:

$$T_{\hat{x}} = \frac{(\sum_{x \in \hat{x}}{x})!}{\prod_{x \in \hat{x}}{(x!)}}$$ $$T_{\hat{x}} = T_{\sigma(\hat{x})}$$ $$T_{\hat{x}} = T_{x_1 - 1, x_2, ..., x_n} + T_{x_1, x_2 - 1, ..., x_n} + ... + T_{x_1, x_2, ..., x_n-1}$$

Answer 3

Como usuarios de la cesta y Michael Hoppe punto, truncamientos de triángulo de Pascal a profundidad finita ver como triángulos, pero todo esto debe ser llamado con un cono. Convenciones de nomenclatura son horribles en matemáticas para empezar - esto es lo de menos!! Considere la posibilidad de que ortogonal de matrices tienen ortonormales columnas, o que prácticamente la mitad de los teoremas con nombres de adjuntos se atribuyen incorrectamente!