Identidad Bezouts para las principales potencias

Question

Tengo dos principales poderes $2^n$ y $5^n$ $n$ arbitrario. Su MCD es $1$ pero Cómo obtengo la combinación lineal de enteros que es $1$ $n$. En otras palabras cuál será el % de enteros $a,b$como funciones de $n$ tal que $a2^n+b5^n=1$.

La razón que no puedo aplicar el Algoritmo euclidiano es que no sé $n$ previamente.

Cualquier ayuda sería mucho apreció. Gracias

Answer 1

Sin duda es una respuesta mejor, pero aquí va.

Tenga en cuenta que $3\cdot 2+(-1)\cdot 5=1$. Porque se ve más bonito, que $a=3$ y $b=-1$.

$(2a+5b)^{2n-1}$ De considerar y ampliar usando el teorema del binomio. Entonces será divisibles por $n$ los primeros términos de la $2^n$, y el $n$ será divisible por $5^n$.

Nos da la combinación lineal deseada. Explícitamente, es el coeficiente de $2^n$ $\sum_{k=0}^{n-1}\binom{2n-1}{k}a^{n-1-k}b^{k}$, y podemos escribir una expresión similar para el coeficiente de $5^n$.