Conexiones entre la teoría de números y álgebra abstracta.

Question

Yo no he tomado álgebra abstracta todavía, pero tengo curiosidad acerca de las conexiones entre teoría de números y álgebra abstracta. ¿Hacer las pruebas de cosas como el pequeño Teorema de Fermat, la ley de reciprocidad cuadrática, etc. se basan en técnicas de encuentran en álgebra abstracta?

Gracias.

Answer 1

Históricamente, hay muchos resultados en la teoría de los números que se probó sin moderna álgebra, pero ahora son considerados de manera algebraica.

Por ejemplo, el Teorema del Resto Chino (CRT) establece que cualquier sistema de congruencias $$\begin{array}{rcl}x&\equiv& a_1 \pmod{b_1}\\x&\equiv& a_2 \pmod{b_2}\\ &\vdots& \\ x&\equiv& a_n \pmod{b_n}\end{array}$$ for which $b_1,b_2,\ldots ,b_n$ are pairwise coprime has a solution $x$, and that all such solutions are congruent $\mod {\prod_{i=1}^n b_i}$. The CRT was first proved by Sun Tzu$^\estrella de$ around the year $300$.

Resulta que el teorema del resto Chino es equivalente a la del grupo de teóricos de la declaración de que, siempre que $b_1,b_2,\ldots ,b_n$ son parejas coprime y $b=b_1b_2\cdots b_n$, $$\mathbb{Z}_{b}\cong \mathbb{Z}_{b_1}\times \mathbb{Z}_{b_2}\times \cdots \times \mathbb{Z}_{b_n}.$$ In the completely unbiased opinion of this finite group theorist, the above is a much more intuitive form of the CRT. In fact, seeing the theorem in this form inspired a generalization: if $I_1,I_2,\ldots, I_n$ are pairwise coprime$^{\estrellas\estrella}$ ideals of a commutative ring $R$, and $I$ is the product of these ideals, then $$R/I\cong R/{I_1}\times R/{I_2}\times \cdots \times R/{I_n}.$$ With this generalization we can use the CRT in other commutative rings, like the Gaussian integers $\mathbb{Z}[i]$, polynomial rings $R[x]$, formal power series rings $R[[x]]$, y así sucesivamente. Todos estos anillos son los objetos de interés en la teoría algebraica de números, una disciplina que (obviamente) hace hincapié en la borrosa línea entre lo que es el álgebra abstracta y ¿qué es la teoría de números.

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$\hspace{2pt}^\star\hspace{2pt}$ , Para mi gran decepción, este no era el Arte de la Guerra de guy.

$^{\star\star}$ Aquí "pairwise coprime" significa que $I_j+I_k=(1)$ por cada $j\neq k$.

Answer 2

Véase por ejemplo teoría elemental del número: un enfoque algebraico por Bolker.

Answer 3

Los resultados principales como los que se citan tienen muchas pruebas, los que usando álgebra abstracta, sino que utilizando combinatoria incluyendo. Ver libro de teoría número de George Andrew para un excelente ejemplo de este último.

Answer 4

Mientras que usted no necesita álgebra abstracta para formular muchas interesantes número teórico de problemas, usted encontrará que es muy útil en la solución de esos problemas. Muchos teoremas elementales de la teoría de números son muy simples en sus formulaciones, sin embargo, sus conocidos pruebas requieren avanzado algebraica de la maquinaria, por ejemplo Fermats Teorema. Personalmente creo que algebraicas pruebas de muchos de los elementales de la teoría de números declaraciones mucho más natural que sus "primarias" de las pruebas, véase, por ejemplo, Fermats Pequeño Teorema o del Resto Chino Thorem y sus pruebas. Una vez que usted consiga a parte de la formación básica de la teoría de grupo y anillo básico de la teoría de esas pruebas son muy naturales.