Que la secuencia $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de las funciones $f_n: [0, 1] \to \mathbb{R}$ sea tal que $f_0$ es continua y $$f_{n + 1}(x) = \int_0^x {1\over{1 + f_n(t)}}dt, \text{ for all }x \in [0, 1], \text{ for all }x \in \mathbb{N}.$$ Por cada $x \in [0, 1]$ es la secuencia $(f_n(x))_{n \in \mathbb{N}}$ convegente? Si es así, ¿cuál es su límite?
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Johnny Ma
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En primer lugar, encontremos el límite probable. Debe ser una función continua $f:[0, 1] \to [0, \infty)$ tal que $$f(x) = \int_0^x {1\over{1 + f(t)}}dt,$$ de donde $f$ es diferenciable, $f(0) = 0$ y $f'(x)(1 + f(x)) = 1$ .
Por lo tanto, $f(x) + f^2(x)/2 = x$ Así que $f(x) = \sqrt{1 + 2x} - 1$ .
Demostremos ahora que $\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)$ por cada $x \in [0, 1]$ . Si $x \in [0, 1)$ entonces \begin {align*}|f_n(x) - f(x)| & = \left | \int_0 ^x \left ({1 \over {1 + f_{n - 1}(t)}} - {1 \over {1 + f(t)}} \right )dt \right | \le \int_0 ^x {{|f_{n - 1}(t) - f(t)|} \over {(1 + f_{n - 1}(t))(1 + f(t))}dt \\ & \le \int_0 ^x |f_{n - 1}(t) - f(t)|\\Ndt = x|f_{n - 1}(t_1) - f(t_1)|, \end {align*}para algunos $t_1 \in [0, x]$ . Del mismo modo, $|f_{n - 1}(t_1) - f(t_1)| \le t_1|f_{n - 2}(t_2) - f(t_2)|$ para algunos $t_2 \in [0, t_1]$ y, por inducción, $$|f_n(x) - f(x)| \le xt_1t_2\ldots t_{n - 1}|f_0(t_n) - f(t_n)|,$$ donde $0 \le t_n \le t_{n - 1} \le \ldots \le t_1 \le x$ .
Esto demuestra que $|f_n(x) - f(x)| \le x^n \sup_{t \in [0, 1]} |f_0(t) - f(t)|$ De ahí que $\lim_{n \to \infty} f_n(n) = f(x)$ en este caso.
Si $x = 1$ , dejemos que $\epsilon > 0$ y $a \in (0, \epsilon/4)$ .
Desde \begin {align*}|f_n(1) - f(1)| & \le \int_0 ^1 |f_{n - 1}(t) - f(t)|\\Nde la que se desprende \int_0 ^{1 - a}|f_{n - 1}(t) - f(t)|||t + \int_ {1 - a}^1 |f_{n - 1}(t) - f(t)|||t \\ & \le \int_0 ^{1 - a}|f_{n - 1}(t) - f(t)|||,dt + 2a, \end {align*}(porque $|f_{n - 1}(t)| \le 1$ y $|f(t)| \le 1$ ) y $$\lim_{n \to \infty} \int_0^{1 - a} |f_{n - 1}(t) - f(t)|\,dt = 0,$$ se deduce que existe $N(\epsilon) \in \mathbb{N}$ tal que $|f_{n - 1}(1) - f(1)| < \epsilon$ por cada $n \ge N(\epsilon)$ , lo que pone fin a la prueba.
