El lagrangiano para un fermión de Dirac sin masa en un fondo general viene dado por:
$$ L_D = i (\bar \psi e^{\mu}_I \gamma^I \mathcal{D}_{\mu} \psi + c.c.) $$
donde $c.c.$ significa complejo conjugado. $\bar \psi = \gamma^0 \psi^+$ , $e^{\mu}_I$ es la tétrada (o más generalmente n-bien) que codifica la métrica de fondo mediante $g_{\mu\nu} = e^I_{\mu} e^J_{\mu} \eta_{IJ}$ , donde $\eta_{IJ}$ es la métrica de Minkowski $diag(-1,1,1,1)$ . $\mathcal{D}_{\mu}$ es la derivada covariante cuya acción sobre los espinores viene dada por:
$$ \mathcal{D}_{\mu} \psi = \partial_{\mu} \psi + g A_{\mu}^{IJ}\gamma_I \gamma_J \psi $$
Aquí $\gamma_I$ son las matrices de Dirac y $\gamma_I\gamma_J$ son los generadores del álgebra de mentiras de Lorentz. Para espinores que se transforman bajo la acción de un grupo general, el segundo término de la expresión anterior puede generalizarse a $A_{\mu}^I T_I \psi$ donde $T_I$ son los generadores de álgebra de mentira del grupo correspondiente.
El n-bien codifica la métrica de fondo. La conexión gauge codifica la curvatura de fondo a través de $F_{\mu\nu}^{IJ} = \partial_{[\mu}A_{\nu]}^{IJ} + g [A_{\mu}, A_{\nu}]^{IJ} $ . El $[..]$ en el primer término indica la antisimetrización sobre los índices contenidos. El segundo término es el conmutador de las matrices que constituyen la conexión y es distinto de cero sólo para un grupo no abeliano. El lagrangiano completo, incluyendo el de la geometría de fondo y los campos de Dirac, es
$$ L_{GR + D} = \frac{1}{8\pi G} e \wedge e \wedge F + L_D $$
Por supuesto, si la geometría de fondo es o puede considerarse estática, sólo importa el término de Dirac. Las ecuaciones de movimiento correspondientes se determinan fácilmente mediante la variación con respecto a $\psi$ y $\bar \psi$ . La solución completa debe tener en cuenta no sólo los valores de masa de la n-bien y la conexión, sino también las condiciones de contorno impuestas por la geometría de fondo.
En lo anterior, lo que no se dice es cómo el $e \wedge e \wedge F$ corresponde al lagrangiano de Einstein-Hilbert. Esta es esencialmente la formulación de conexión de la RG para la cual una excelente referencia pedagógica es el artículo de Romano Geometrodinámica vs. Dinámica de la conexión .
Ante todo este formalismo lo que falta es un ejemplo concreto. No me cabe duda de que alguien (@Lawrence ?) pronto proporcionará uno. Pero esto debería ponerte en marcha. También puedes seguir el camino del álgebra Clifford/geométrica que mencionó @Carl y obtener los beneficios de un lenguaje unificado a costa de dedicar algo de tiempo a aprender el marco de trabajo. Espero que esto te ayude.
Un ejemplo explícito de una solución exacta se puede encontrar en este documento en Agujeros de gusano de grafeno
