Cada ODE viene de algo que en la física?

Question

No estoy seguro si esto es apropiado para Matemáticas de Desbordamiento, pero creo que hay alguna forma de hacer esto precisa, incluso si no estoy seguro de cómo hacerlo yo mismo.

Decir que tengo un desagradable ODE, no lineal, tal vez muy singular. Se mostraba de forma natural matemáticamente (en realidad estoy pensando en Painleve VI, que viene de isomonodromy representaciones), pero tengo un poco de físico dentro de mí, así que aquí está la pregunta. Puedo construir, en cada caso, un sistema físico modelado por esta ecuación? Tal vez incluso sólo un extraño sistema de osciladores armónicos acoplados, algo. Hay un par de física de sistemas cuyos modelos se conocen bien, y estoy básicamente preguntando si hay una construcción que tiene una ODA y construcciones combinación de algunos de estos sistemas que controla la dinámica de la.

Cualquier entrada sería útil, incluso si es sólo "No." aunque en ese caso, la razón sería agradable.

Answer 1

Es posible resolver una gran clase de ecuaciones diferenciales ordinarias por medio de equipos analógicos. Cada una de las piezas de la ecuación diferencial corresponde a un componente electrónico y si usted alambre de arriba de la manera correcta de obtener un circuito descrito por la ODA. Wikipedia tiene un montón de información sobre el tema y un enlace como este uno se da ejemplos explícitos de los circuitos. No es difícil construir circuitos para cosas como la ecuación de Lorenz y ver un bonito atractores de Lorenz en una pantalla del osciloscopio.

Answer 2

Esta no puede ser la respuesta que usted está buscando, pero creo que usted debería ser capaz de escribir el Painlevé VI ecuación como un hamiltoniano del sistema, en cuyo caso rigen la dinámica de algunos de los "físicos" del sistema. La razón de las comillas es que este tal vez no sea un sistema surge en la naturaleza. Lo más probable, aunque no lo sé seguro, no va a ser justo junto osciladores armónicos.

Menos directamente, Painlevé ecuaciones surgir en el estudio de la integración de las jerarquías, algunos de los cuales (por ejemplo, KdV, no lineal de Schrödinger,...) se utilizan para modelar los fenómenos naturales.

Editar

Una forma explícita para el Hamiltoniano de Painlevé VI se puede encontrar aquí, justo después de que el Teorema 2.1. Aunque es polinomio, se hace depender explícito en 'el tiempo'. Por tanto, como un hamiltoniano del sistema es, ciertamente, no muy natural. Por un lado, la energía no se conserva. Esto es lo esperado, ya que Painlevé VI por sí misma no es integrable, que tendría que ser si usted puede encontrar una cantidad conservada, ya que es un sistema unidimensional.

Answer 3

Para la pregunta general que voy a votar no. Como se formuló la veo, potencialmente, como una pregunta de diferencial álgebra. Aunque no hay una definición de proceso físico Me imagino que se pueden formalizar a través de restricciones en el campo de las extensiones permite resolver la ecuación. El prototipo de resultado que tengo en mente es el Teorema de Liouville.

Si en su lugar se especializan a la pregunta general a Painleve de la ecuación, entonces yo apuesto a que la respuesta es sí. Painlevé ecuación es uno de estos omnipresentes objetos en Matemáticas y no me sorprendería si los modelos físicos los fenómenos. Ya he cruzado con un Springer Notas de la Conferencia en relación a la geometría de las superficies.

Como un lado comentario me deja un aviso de que Painlevé las ecuaciones fueron originalmente encontrado no como las ecuaciones que rigen el isomonodromic deformaciones sino como no-lineal de segundo orden ecuaciones tener el llamado Painlevé propiedad(ausencia de bienes muebles puntos singulares).

Answer 4

Una forma bastante tonta la respuesta es que la respuesta es, obviamente, "Sí", ya que se puede construir un equipo para integrar soluciones numéricas a su ODA. (ahora que lo pienso, Sigfpe la respuesta es esencialmente la misma que la mía.)

Ir a lo largo de estas líneas, supongo que uno puede encontrar más "física" de los modelos de mi sugerencia (en el sentido de que haciendo la física es a menudo encontrar juguete modelos que contienen la esencia de los fenómenos etc) proponiendo diversas celosía o modelos de autómatas celulares que se sabe que han universal de los constructores. O por el diseño de circuitos hechos de bolas y muelles.

Pasé un poco de tiempo tratando de poner las palabras correctas, lo que haría que su pregunta más precisa y más en línea con su intención, pero creo que en última instancia todo se reduce a qué tipo de modelos físicos estarías satisfecho con.

Como gran parte de la física que puede ser descrito en términos de las Odas, cualquier suficientemente poderosa tipo de modelo es el que va a contener el tipo de respuesta que he descrito anteriormente. Creo que la pregunta correcta es ¿qué es el "más simple" (o quizás "más débil") conocido modelo físico para Painlevé VI.

Un tipo de respuesta a esta pregunta puede ser la búsqueda de un sistema físico para que una solución de Painlevé VI da algunos físicamente medibles función - a lo largo de estas líneas, sé que Painlevé funciones son muy útiles en diversos integrable / modelos de celosía de modelos, por ejemplo, como es sabido, el spin-spin de la función de correlación en el 2D del modelo de Ising en la escala de límite es una solución para Painlevé III - por lo tanto, mi conjetura es que Painlevé VI muestra en uno de estos contextos, pero la literatura es bastante amplia.

Answer 5

Yo voto que no. Vamos a n ser bastante grande a un entero positivo más grande que los números no pueden ser razonablemente escrito usando recursión primitiva. Tomar un genérico no lineal de la educación a distancia con la participación de alrededor de n términos con derivadas de orden n. Me gustaría afirman que este no es modelo de nada físico, y que no puede ser integrado en cualquier dispositivo que cabe en el universo.

Si usted demanda que la educación a distancia es razonablemente pequeño (por ejemplo, matemáticamente interesante), entonces tautologically modela el comportamiento de un conjunto de dispositivos hasta integrar. Realmente no tengo una respuesta a la cuestión más amplia de por qué ciertas ecuaciones diferenciales se muestran en las áreas de matemáticas, cerca de la física, donde los que realmente no esperaba.