Me pregunto ¿qué tan fuerte es el poder de la filosofía de Tannaka, y si aceptamos que una categoría del tensor es un bialgebra generalizado, ¿qué dificultades nos vendrá contra?
Edición: Más categorías tensoriales son representables, o ya sea para todas las categorías de "bastante bueno" tensor existen bialgebra con su categoría de módulo isomorfo a la categoría determinada?
Me gustaría explicar Bruce respuesta un poco más. La fusión de las categorías de Bruce menciona no entero de Frobenius-Perron dimensiones, por lo que es muy fácil ver que ellos no son categorías de finito dimensional de los módulos a través de un bialgebra. E. g. uno de los más sencillos de ellos, el llamado Yang-Mentira de la categoría, ha simples objetos,$1,X$$X^2=X+1$. Así que si $X$ eran de un número finito de dimensiones de la representación de un bialgebra, entonces la dimensión de $X$ sería el cociente de oro, lo cual es absurdo.
Esto, sin embargo, puede ser fijo si permitimos débil bialgebras y la debilidad de álgebras de Hopf. De hecho, cualquier fusión categoría es la categoría de los módulos a través de un número finito de dimensiones débil álgebra de Hopf, ver arXiv.matemáticas/0203060.
En cuanto a Akhil del ejemplo (Deligne categorías), también es cierto que no puede ser observado como las categorías de finito representaciones tridimensionales de un bialgebra (o incluso un débil bialgebra), pero por una razón diferente. Es decir, si X es finito dimensionales representación de un bialgebra, entonces la longitud del objeto $X^{\otimes n}$ es en la mayoría de las ${\rm dim}(X)^n$ donde ${\rm dim}$ significa que el espacio vectorial de dimensión. Pero en Deligne categorías, la longitud de $X^{\otimes n}$ crece más rápido como $n\to \infty$. En realidad, en otro papel, Deligne, muestra que si bien en un simétrica rígido tensor de la categoría de más de un algebraicamente cerrado campo de característica cero, la longitud de $X^{\otimes n}$ crece en la mayoría de los exponencialmente, entonces esta es la categoría de representaciones de un proalgebraic supergrupo, donde algunos central fija la orden de 2 elemento actúa por la paridad (así que, esencialmente, esta ES la categoría de (co)los módulos a través de un bialgebra). Esta es, sin embargo, violentamente falso en el carácter $p$, ya que si la raíz de la unidad $q$ es de orden $p$ donde $p$ es un número primo, el de la fusión de categorías para $U_q({\mathfrak g})$ mencionado por Bruce admitir buena reducción a la característica $p$, los cuales son semisimple simétrica rígido tensor de categorías con un número finito de objetos simples y no enteros Frobenius-Perron dimensiones.
Un tercer ejemplo muy simple de un tensor de categoría no viene de una bialgebra es la categoría de espacios vectoriales calificados por un grupo finito $G$ con asociador definido por un trivial $3$-cocycle. Esta categoría, sin embargo, es la categoría de representatins de un quasibialgebra (y también de un débil bialgebra, como se mencionó anteriormente).
Así que la conclusión es como en las dos anteriores respuestas: tensor de categorías más generales que bialgebras. Más precisamente, la existencia de un bialgebra para un tensor categoría es equivalente a la existencia de una fibra functor a espacios vectoriales, que es una estructura adicional que no siempre existen. Y si existe, no es único, así que usted puede tener muchas diferentes bialgebras dando lugar a la misma tensor de la categoría.
Editar El ejemplo dado aquí de Deligne categorías es un ejemplo válido de tensor de categorías que no surgen de una generalizada bialgebra. Sin embargo, para la correcta razón, Pavel Etingof la respuesta anterior.
Un ejemplo es Deligne de la Rep(S_t) para t no es un entero; este es un semisimple simétrica del tensor de la categoría, pero que contiene un objeto (la "representación" en la no-integral rank) de dimensión $t$. Hay un post en el blog de David Speyer sobre el tema.
De hecho, hay una forma más natural de conseguir un tensor de categoría con los objetos de la no-dimensión integral (que también era conocido anteriormente); esto es $Rep(GL_t)$ $t$ no es un entero. También es cubierto en Deligne del papel (y cf. este post por Noé Snyder). Esta categoría es algo así como "la libre pseudo-abelian tensor de la categoría que contiene un objeto de dimensión $t$", en 2 categorías sentido: cualquier tensor de la categoría admite un tensor functor de $Rep(GL_t)$.
(Editado en respuesta a los comentarios de abajo)
El ejemplo básico es tomar finito representaciones tridimensionales de $U_q(sl(2))$ y, a continuación, poner q una raíz de la unidad. Luego cociente por el ideal de la "invisible morfismos" (donde f es invisible si Tr(fg)=0 para todo g). Este es semisimple, abelian, trenzado, con forma esférica y tiene un número finito de clases de isomorfismo de módulos sencillos.
Por supuesto, usted puede repetir para $U_q(g)$ g un semisimple Mentira álgebra.
Aún más generalmente, usted puede tomar la fusión de la categoría de lo racional la teoría conforme de campos.
Estos son los ejemplos que han sido más estudiados y que llevó a la gente a considerar el tensor de las categorías más generales de bialgebras.
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