Denotaré el producto interno (estándar) por $\langle\cdot,\cdot\rangle$ y considerar los elementos de $\Bbb R^2$ como vectores columna. Poner $$A=\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & -1\end{bmatrix}$$ y $$B=\begin{bmatrix}0 & -1\\1 & 0\end{bmatrix}.$$
Definimos una operación $\otimes$ en $\Bbb R^2$ por $$\vec w\otimes\vec z:=\langle\vec w,A\vec z\rangle\vec e_1+ \langle\vec w,BA\vec z\rangle\vec e_2,$$ donde $$\vec e_1=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\text{ and }\vec e_2=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}.$$
Es bastante artificioso, pero cumple su función. Tenga en cuenta que la multiplicación por la izquierda por $A$ es la operación de conjugación compleja, que $\vec e_1$ es el $\otimes$ -y que la multiplicación a la izquierda por $B$ es lo mismo que $\otimes$ -multiplicación por $\vec e_2,$ que sirve como nuestro " $i$ ".
A ver si puedo arrojar algo de luz sobre la conexión entre el producto interior y la multiplicación compleja (y cómo he desarrollado la peculiar operación anterior).
Primero, observé que, si había alguna función $f:\Bbb C^2\to\Bbb R$ Satisfaciendo a $$f(a+bi,c+di)=ac+bd$$ para todos $a,b,c,d\in\Bbb R$ (es decir, si $f$ actúa como nuestro producto interno), entonces $$w\overline z=(w_1+iw_2)(z_1-iz_2)=w_1z_1+w_2z_2+i(w_2z_1-w_1z_2)=f(w,z)+i(w_2z_1-w_1z_2)$$ y de manera similar $$\overline wz=f(w,z)+i(w_1z_2-w_2z_1),$$ de ahí que encontremos que $$f(w,z)=\frac12\left(w\overline z+\overline wz\right).$$ Así pues, tenemos que $$f(w,\overline z)=\frac12\left(wz+\overline w\overline z\right),$$ y (un poco menos obviamente) que $$f(w,i\overline z)=\frac12\left(-iwz+i\overline w\overline z\right)=\frac1{2i}\left(wz-\overline w\overline z\right).$$ Por lo tanto, tenemos que $$f(w,\overline z)\cdot 1+f(w,i\overline z)\cdot i=wz.\tag{$ \N - La estrella $}$$ Lo único que queda, entonces, es decidir cuáles son los equivalentes a $1$ y $i$ sería en $\Bbb R^2$ (que era bastante natural), y cómo expresar la conjugación y la multiplicación por $i$ como transformaciones lineales en $\Bbb R^2$ (no muy difícil).
Añadido : Tenemos cierta libertad en los representantes que podemos elegir, pero no podemos escoger dos vectores cualesquiera. Llamemos a nuestros vectores representantes de $1$ y $i$ por los nombres $\vec 1$ y $\vec i,$ respectivamente. Primero encontremos algunas condiciones necesarias para ellos.
En primer lugar, hay que tener en cuenta que obviamente necesitamos $\vec 1$ y $\vec i$ para que sean linealmente independientes. Supongamos por el momento que existe $2\times 2$ matrices reales $C$ y $R$ correspondiente a la conjugación compleja y a la multiplicación por $i$ (este último hace girar el plano). En particular, esto significa que se cumple lo siguiente:
- $C\vec 1=\vec 1$
- $R\vec 1=\vec i$
Gracias a nuestro trabajo en la sección anterior, en particular, a la traducción de $(\star)$ en los términos deseados encontramos que necesitamos $$\langle\vec w,C\vec z\rangle\vec 1+\langle\vec w,RC\vec z\rangle\vec i=\vec w\otimes\vec z\tag{$ \N - Traje de corazón $}$$ para todos $\vec w,\vec z\in\Bbb R^2.$
Ahora bien, como $\vec 1$ tiene que ser nuestro $\otimes$ -identidad, entonces en particular, $$\vec 1=\vec1\otimes\vec1=\langle\vec 1,C\vec 1\rangle\vec1+\langle\vec1,RC\vec1\rangle\vec i=\langle\vec1,\vec1\rangle\vec1+\langle\vec1,R\vec1\rangle\vec i=\langle\vec1,\vec1\rangle\vec1+\langle\vec1,\vec i\rangle\vec i,$$ por lo que la independencia lineal nos muestra que $\langle\vec 1,\vec1\rangle=1$ y $\langle\vec1,\vec i\rangle=0.$ Otra propiedad que necesitamos es que $\vec1=-\vec i\otimes\vec i,$ de lo que podemos deducir además que $\langle\vec i,\vec i\rangle=1.$ Por lo tanto, exigimos que $\left\{\vec1,\vec i\right\}$ sea una base ortonormal para $\Bbb R^2.$
A partir de esto, podemos concluir que $$\vec1=\begin{bmatrix}\cos\theta\\\sin\theta\end{bmatrix}$$ para algunos $\theta\in\Bbb R.$ Ahora, habiendo elegido dicho vector, tenemos dos opciones para $\vec i.$ (Esto puede parecer un poco alarmante, pero muchos construcciones de $\Bbb C$ se encuentran precisamente con este mismo problema, tal y como se ha comentado, por ejemplo aquí y aquí . En cualquier caso, resulta que debemos tener $R=B$ o $R=-B$ (con $B$ como se ha indicado anteriormente), que depende de $\vec1$ y en cuál de las dos opciones elegimos para $\vec i.$
Una última observación que haré (omitiendo la prueba) es que requerimos $$C=\begin{bmatrix}\cos2\theta & \sin2\theta\\\sin2\theta & -\cos2\theta\end{bmatrix}.$$ En el caso de que $\theta$ es un múltiplo entero de $2\pi$ --es decir, que $\vec1=\vec e_1$ --tenemos $C=A.$
Os dejo que comprobéis que las condiciones necesarias derivadas anteriormente son también suficientes para que $\otimes$ comportarse $\Bbb R^2$ exactamente como queremos que funcione la multiplicación compleja. Obsérvese, sin embargo, que hay incontables diferentes formas en las que podríamos definir $\otimes,$ dependiendo de nuestra elección de $\theta$ y la posterior elección de $\vec i.$ La definición que he dado más arriba es lo más parecido a lo canónico que se puede conseguir.
