¿Un mapa polinómico de ℝ^n a ℝ^n que mapea el ortante positivo sobre ℝ^n?

Question

Pregunta: ¿Existe un mapa polinómico de ℝ n a ℝ n bajo la cual la imagen del ortante positivo (el conjunto de puntos con todas las coordenadas positivas) es todo ℝ n ?

Algunas observaciones:

Mi intuición es que la respuesta debe ser "no"... pero confieso que mi intuición para este tipo de problemas geométricos no está muy desarrollada.

Por supuesto, es relativamente fácil demostrar que la respuesta es "no" cuando n=1. (De hecho, parece un buen problema para los deberes de algunos estudiantes de cálculo.) Pero no consigo nada para n>1.

Esto parece el tipo de cosa que debería tener una demostración fácil, pero recuerdo que me sentí así la primera vez que vi la conjetura jacobiana... ahora desconfío de las afirmaciones sobre mapas polinómicos de ℝ n ¡!

Answer 1

El mapa $z\in\mathbb C\mapsto z^4\in\mathbb C$, cuando se escribe en coordenadas, es un polinomio mapa que envía el primer cuadrante cerrado a toda $\mathbb R^2$---y por considerar los productos cartesianos usted mismo $\mathbb R^{2n}=\mathbb C^n$.

Posteriores: como se observa en un Comentario de Charles, esto puede transformarse en una solución para el cuadrante abierto por componer con una traducción, como en $z\in\mathbb C\mapsto (z-z_0)^4\in\mathbb C$ $z_0$ en el primer cuadrante abierto.