Homología de suma conectada de espacios proyectivos reales

Question

Deje $A_k=RP^2\sharp RP^2\sharp \cdots \sharp RP^2$ ser conectado suma de $k$ copias de real proyectiva del espacio. Con coeficientes en $\mathbb{Z}$, es claro $H_n(A_k)=0$ al$n\geq2$$H_0(A_k)=\mathbb{Z}$. Sin embargo, yo estoy tratando de encontrar el $H_1(A_k)$.

Después de buscar con google,me encontré con que $H_1(A_k)=\mathbb{Z}^{k-1}\oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. y creo que la inducción puede lidiar con esto. Traté de poner $U=A_n$ con un punto eliminados y $V=RP^2$ con un punto eliminado en Mayer secuencia $H_1(U\cap V)\to H_1(U)\oplus H_1(V)\to H_1(A_{n+1})$ pero no pudo porque yo no sé de qué forma $U,U\cap V$ reforma retractarse. lo que U y V debo poner aquí?

Podría usted explicar cómo hacerlo paso a paso? (como lo teoremas aplicados aquí, así que puede revisar yo mismo)

Tan lejos como puedo recordar, mi profesor ya enseñó acerca de la homología de grupo, de Mayer-Vietoris, CW-complejos, característica de Euler...etc (pero no cohomology)

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Deje $X$ ser el primero $(k - 1)$ factores $A_k$ $Y$ ser el último factor. Deje $S^1$ ser el círculo que conecta $X$$Y$. Deje $W$ ser un barrio de $S^1$ que la deformación se retrae en $S^1$. Definir $U = X \cup W$, $V = Y \cup W$.

El uso de él de Mayer-Vietoris secuencia para la reducción de homología, tenemos la siguiente secuencia exacta: $$ \tilde H_1(U \cap V) \xrightarrow{\varphi} \tilde H_1(U) \oplus \tilde H_1(V) \xrightarrow{\psi} \tilde H_1(A_k) \rightarrow 0 $$

Teniendo en cuenta la fundamental polígono para $\Bbb R \textrm P^2$, uno puede ver que $U$ deformación se retrae en la cuña de la suma de $(k - 1)$ círculos. Del mismo modo, $V$ deformación se retrae en un círculo. Por lo tanto $\tilde H_1(U) \cong \Bbb Z^{k-1}$, $\tilde H_1(V) \cong \Bbb Z$. Desde $U \cap V = W$ deformación se retrae en $S^1$,$\tilde H_1(U \cap V) \cong \Bbb Z$.

Lo que queda es encontrar a $\ker \psi = \operatorname{im} \varphi$ y aplicar el primer teorema de isomorfismo.

A partir de la definición de Mayer-Vietoris secuencia, $\varphi = (i_*, j_*)$ donde $i : U \cap V \hookrightarrow U$, $j : U \cap V \hookrightarrow V$ son la inclusión de mapas.

Desde el generador de $\tilde H_1(U \cap V)$ va dos veces alrededor de cada generador de los círculos de $U$, tenemos $$ i_*(1) = \underbrace{(2, \ldots, 2)}_{(k - 1) \text{ momentos}}. $$

Del mismo modo, $j_*(1) = 2$.

Por lo tanto $$ \ker \psi \cong \underbrace{(2, \ldots, 2)}_{k \text{ momentos}} \Bbb Z.$$

Una aplicación del primer teorema de isomorfismo, tenemos $$ \tilde H_1(A_k) \cong \left(\tilde H_1(U) \oplus \tilde H_1(V)\right) / \ker \psi = \Bbb Z^{k-1} \oplus \Bbb Z_2. $$

---

Tenga en cuenta que uno puede demostrar que la siguiente más general resultado:

Si $M_1$ $M_2$ están cerrados colectores entonces hay isomorphisms $H_i(M_1 \# M_2) \cong H_i(M_1) \oplus H_i(M_2)$$0 < i < n$, con una excepción: Si $M_1$ $M_2$ son nonorientable, a continuación, $H_{n−1}(M_1 \# M_2)$ se obtiene a partir de a $H_{n−1}(M_1) \oplus H_{n−1}(M_2)$ por sustitución de uno de los dos $\Bbb Z_2$ sumandos por un $\Bbb Z$ sumando.

La prueba es similar a lo que tengo encima, pero requiere de algunos colector de la teoría.

Answer 2

Puede tratar de dibujar que el polígono se relaciona que suma conectada y el uso de Mayer-Vietoris con $U$ es igual a su espacio un aspecto negativo, y $V$ un disco contiene el punto estrictamente contenido en su espacio. Entonces es de $U \cap V$ $S^1$ y si no tiene problemas para completar el cómputo.